Autor: Lemuel

 

Números, 1

Advertiré de entrada que los términos 'real', 'reales', que aparecen en este y sucesivos escritos, no derivan en realidad de rex, regalis, sino de res, realis. O sea, que los números reales no son ni han sido nunca monárquicos, ¡por favor!, sino que siempre y toda la vida han sido res-publicanos. Lo digo más que nada por si las cojoneras moscas borbónicas.

Si hubiera o hubiese posibilidad de hacer uso aquí de llaves o corchetes de diversos tamaños, podríamos clasificar los distintos números haciendo un bonito cuadro sinóptico. Del modo siguiente:

Complejos, que incluyen los reales y los imaginarios.

Reales, que se subdividen en racionales e irracionales.

Racionales, entre los cuales hay enteros y fraccionarios.

Enteros, que pueden ser positivos, es decir, naturales y negativos.

(Podría haberse añadido también: Irracionales, entre los que cabe distinguir los algebraicos de los trascendentes.)

En un cierto sentido, la "historia sin nombres" de la matemática, o sea, el progresivo desarrollo de esta ciencia desde sus más remotos orígenes hasta la actualidad, se corresponde en buena medida con la evolución, la diversificación y el desaforado crecimiento del conjunto numérico.

Al principio fueron solo los números naturales, que servían para contar (en este aciago año del Señor me he echado 1 una novia, 2 novias, 3 novias...), para sumar (yo tenía 2 manzanas, pero, al afanarle o expropiarle al vecino otras 3, tengo ya 2+3 = 5 manzanas) y para multiplicar (he parido 2 hijos, cada uno de los cuales es padre de 4 hermosos retoños, de modo que, ya a mi tierna edad, soy, ni más ni menos, abuela de 2*4 = 8 encantadores churumbeles). Luego se inventó la resta, con lo que entraron en escena los enteros negativos: tengo solo 2 celemines de excelente hachish, pero estoy perentoriamente obligado a entregar a mi vicioso vecino del tercero izquierda 5 celemines de la mercancía, de manera que en realidad es como si tuviese 2-5 = -3 celemines de hachish, que son justo los que me faltan para que no me coloquen los zapatos de cemento y me lancen al fangoso Darro. Más adelante, a alguien se le ocurrió la nefasta idea de dividir (Divide et impera!), y en consecuencia aparecieron los números fraccionarios: tenemos 3 panecillos y somos 12 miembros, no más, en la familia, lo que significa 3/12 = 1/4 de panecillo para cada quisque o boca familiar. El paso siguiente fue la ocurrencia de la raíz cuadrada, que trajo como inesperado resultado o subproducto los números irracionales.

Pero ésta es cosa algo más seria, y he de detenerme en ella un poquito más.

Ya conté aquí en su día el luctuoso evento del pobre Hipaso de Metaponto, muerto ahogado en el Egeo debido a su poca cabeza. ¡Pues, tras descubrir la irracionalidad de ciertos números, cometió la fatal imprudencia de airear públicamente y apertis verbis su heterodoxo descubrimiento! ¡Osó lanzar un devastador torpedo contra la mismísima línea de flotación de la multisecular, armoniosa y eufónica nave de la matemática pitagórica, creyendo que iba a irse luego así, de rositas o, como también se dice, de bóbilis bóbilis!

Lo cierto es que la irracionalidad numérica, descubierta al intentar hallar la medida de la diagonal de un modesto cuadradito de lado unidad, obligó al conjunto de la matemática griega y sus prohombres a abandonar la "irracional" Aritmética y pasarse en bloque, es decir, en masse, a la mucho menos díscola y más razonable Geometría euclidiana.

Pero este asunto de los números irracionales requiere sin duda capítulo aparte.

Números, 2

Como hemos visto el otro día, entre los números racionales hay números enteros y números fraccionarios. Pero en realidad (y dejando de lado el detalle de que hace 26 siglos los griegos no utilizaban, como es natural, la notación arábiga, sino que representaban los números con letras), para los pitagóricos los números naturales eran "la medida de todas las cosas". Para ellos, todos los números eran enteros, y las fracciones no las entendían como tales, sino como pares de números así mismo enteros, es decir, como proporciones entre números enteros. En su concepción, 2/5 no era 0,4 sino que era un par de números enteros conmensurables, con este preciso significado: 2 unidades medidas en unidades de la clase o "tipo" 5. Si nos hallamos, por ejemplo, con dos superficies, una de las cuales es 3 veces mayor que la otra, entonces las parejas de números naturales que entran en juego son: 3/1 y 1/3, según que tomemos la superficie pequeña como unidad de la grande o viceversa. Si se tiene un segmento de recta, se divide ese segmento en cinco partes iguales y se consideran solo 2 de esas partes, entonces tenemos 2/5 de segmento. Si el segmento no lo dividimos, entonces 2/1 son dos segmentos, y así sucesivamente. En suma, que, para los matemátios de la escuela de Pitágoras, todos los números eran racionales, es decir, se podían escribir en la forma a/b.

Quienes tengan fresca la muy entretenida lectura del Menón del filósofo Aristocles, groseramente apodado Platón a causa de la temible envergadura de sus hombros, recordarán el pasaje aquel en el que un pobre esclavo, con solo una pequeña ayudita, es capaz de resolver prácticamente el problema consistente en duplicar el área de un cuadrado de lado L. Para lo cual traza por los vértices del cuadrado cuatro rectas paralelas a sus diagonales. Basta observar detenidamente la figura resultante (vide abajo, si es que me ha salido) para comprender que, en efecto, el cuadrado grande que ahí aparece es dos veces mayor que el pequeño.

Pero, ¡ay, queridos amigos míos!, en esa sencilla y aparentemente inofensiva duplicación de áreas ¡anida ya la ponzoñosa y aleve o traicionera víbora (porque no se la puede llamar de otro modo) de la mortal irracionalidad numérica! Pues ¿qué proporción guarda, en efecto, la longitud del lado de ese cuadrado grande con la del lado del cuadrado pequeño? ¿Cuánto mide el lado pequeño? Mide L, según he dicho antes. ¿Y el grande? Pues, según el propio Pitágoras, aplicando no más su celebrado e inmortal teorema, el lado grande mide la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de L. Es decir: la raíz cuadrada de 2*L^2, que quiere decir 2 multiplicado por L elevado al cuadrado. Ahora bien, la raíz cuadrada de 2 multiplicado por L elevado al cuadrado resulta ser L multiplicado por la raíz cuadrada de 2. De modo y manera que al dividir la longitud del lado del cuadrado grande por la del cuadrado pequeño nos saleraíz cuadrada de 2, o sea, 2^(1/2).

Y ocurre la tremenda desgracia de que ¡no hay manera humana de escribir la raíz cuadrada de 2 de manera racional, es decir, como a/b! (Entiéndase que en a/b, tanto a como b son números enteros y que, además, esos números no tienen factores comunes, que se simplificarían. Es decir, que, p. ej., nunca tendríamos 7/21, sino 1/3; ni 8/12, sino 2/3, etc. ¡Solo números irreductibles!)

Demostrémoslo. Para lo cual recurriremos a uno de los más potentes y contundentes métodos probatorios de que dispone la matemática: la prueba de imposibilidad. Hay que tener en cuenta que la matemática, y solo la matemática, es capaz de probar de modo incontestable las inexistencias. Yo, sin ir más lejos, bien habría querido demostrarles a mis idolatrados retoños que ni Dios ni la Virgen existen. Por desgracia, como es bien sabido, la lógica "normal", por así decir, tanto la de enunciados como la de predicados, es por completo incapaz de probar inexistencias. Frente a las inexistencias, la lógica formal hace el más completo de los ridículos. En cambio, yo diría que a la lógica matemática lo que mejor se le da, precisamente, es probar las inexistencias.

El procedimiento habitual que se sigue se llama de reductio ad absurdum, o de reducción al absurdo. Supongamos, en efecto, que lo cierto es lo contrario de lo que queremos probar. O sea, en este caso, supongamos, por hipótesis, que la raíz cuadrada de 2 sí se puede escribir en la forma a/b, siendo esta una fracción irreductible, ya simplificada. Tendríamos entonces:

2^(1/2) = a/b

Elevando ambos miembros al cuadrado,

2 = (a^2)/(b^2)

o, lo que es lo mismo,

a^2 = 2*b^2.

Si hasta aquí la cosa no ha ofrecido ninguna dificultad (como supongo), a partir de aquí (si es que alguien ha tenido la santa paciencia de llegar hasta aquí) hay que estrujarse un poco más las entendederas, siento tener que decirlo.

¿Qué se deduce de la última igualdad que he escrito? Pues que a^2 es un número par, ya que es igual al doble de otro número, y el doble de cualquier número es siempre un número par, ¿no es eso? Ahora bien, si a^2 es par, también será par a, ya que solo los números pares dan pares al elevarlos al cuadrado, mientras que los impares elevados al cuadrado dan siempre impares. Entonces, si a es par, será obligatoriamente, y por definición, de la forma a = 2*p. Y, sustituyendo esto en la igualdad anterior, tendríamos:

(2*p)^2 = 4*p^2 = 2*b^2, de donde resulta b^2 = 2*p^2.

Es decir, que b al cuadrado, y por tanto b, también es un número par. De modo que tanto a como b son pares, y a/b puede simplificarse dividiendo por 2 numerador y denominador.

¡Pero habíamos partido de la hipótesis de que la expresión a/b era irreductible! ¡Hemos llegado a una contradicción! ¡Nuestra hipótesis de partida era falsa!

Ergo: 2^(1/2) no se puede escribir en la forma a/b. QED.

Números, 3

Si se piensa un poco en el asunto, resulta perfectamente comprensible que los griegos pitagóricos se llevasen una sorpresa tan desagradable al descubrir que los números reales, aparte de a los racionales, incluyesen también esas otras extrañas y escurridizas cosas llamadas números irracionales. Pues, al igual que nos ocurre hoy día a nosotros cuando cobramos nuestros ridículos salarios, cuando pagamos nuestros abultados impuestos, cuando compramos dos kilos de peras medio podridas o cuando pagamos religiosamente todos los meses la brutal hipoteca de la casa, los pitagóricos, en la vida práctica, solo tenían necesidad y hacían uso de números racionales. Los otros números eran inusitados e “invisibles”.

Además, está la densidad de los racionales, es decir, el hecho prodigioso de que, entre dos números racionales cualesquiera, por muy próximos que se encuentren entre sí, ¡siempre cabe empotrar una cantidad infinita de otros números racionales! La demostración de este alucinante fenómeno es elemental. Sean x e y dos números racionales cualesquiera, siendo x solo un poquitín más pequeño que y. Entonces, (x+y)/2 es otro número racional cuyo valor está comprendido entre x e y. Si llamamos z a ese valor intermedio, podemos volver a repetir el razonamiento, con lo que tenemos que (x+z)/2 es otro racional mayor que x y menor que z. Y así sucesivamente, una y otra vez, hasta el infinito. ¿Dónde demonios podrían meterse entonces esos otros extravagantes entes, los números irracionales? ¡Si es que no hay sitio para ellos! ¡Si aquello es como el ágora (o como el “metro” hoy día) en hora punta: que allí no cabe ni un puñetero alfiler más, por muy irracional que sea!

Decía el genial Oscar Wilde que la vida imita al arte. Inversa y correlativamente, cabría decir también que la matemática imita a la vida. Pues, como veremos en su momento, al igual que ocurre en la vida y en los (sucios) negocios humanos, tan plagados de individualismo egoísta y de alocada aloclastia, la irracionalidad predomina también de manera abrumadora en la matemática. Hasta tal punto es así que la cantidad existente de números irracionales ¡resulta ser infinitamente mayor que la de los racionales!

Los siguientes números son irracionales:

19,132975127…
? = 3,141592653…
e = 2,7182818284…
v2 = 1,41421356…

Lo que distingue a estos números es que su infinito desarrollo decimal (infinitud que se indica con los puntos suspensivos) no presenta pauta ni regularidad alguna, o sea, que su ocurrencia es caótica. (Los números irracionales p y e, inicial esta última letra de Euler, son además trascendentes, y no algebraicos. Es decir, no son raíces de ningún polinomio con coeficientes racionales. Con estos dos números irracionales, que son sin duda los más importantes de todos, ocurre como con el Zapatero y el Rajoy en la vida real, o sea, que se le aparecen a uno en la matemática por todas partes y cuando más desprevenido está y menos se los espera uno. Ahora bien, eso sí: p y e son mucho menos dañinos que esos impúdicos politicastros burgueses.)

He aquí ahora algunos números racionales:

2,7500…
0,333…
5,38 461538 461538…

Como se ve, las cifras decimales de estos números son también infinitas (aunque el primero de ellos suele abreviarse escribiendo 2,75), pero presentan determinadas regularidades o pautas de tipo periódico: en el primer caso, a partir de la segunda cifra, todas las demás son 0; en el segundo, todos los decimales son 3; en el tercero, a partir de la segunda cifra, se repite monótonamente el grupo 461538. A diferencia de los números irracionales, que como sabemos no se pueden expresar en la forma a/b, según ha sido demostrado ya, estos otros numericos sí que pueden escribirse de ese modo. Es fácil ver que 2,75000… es igual a 275/100. El segundo es un número que seguramente nos suena a todos: 1/3.

Pero ¿y el tercero de esos números?

La palabra algoritmo procede de un gran matemático árabe del siglo IX llamado en realidad Muhammad Ibn Musa, pero apodado Al Juarizmi, que significa “nacido en Juarizem”, localidad ubicada en el actual Uzbekistán. Un algoritmo (¡no confundir con logaritmo, que tiene las mismas letras!) es un conjunto de reglas que, aplicadas en un determinado orden a un cierto conjunto de datos, permite alcanzar unos determinados resultados ciertos, independientemente de los datos concretos utilizados, por lo cual su validez es general.

Pues bien, propongo al paciente y curioso lector que, aprovechando estas tan entrañables, polvorónicas, comerciales y pingües fiestas del nacimiento del Niño Dios y demás, intente hallar el algoritmo o procedimiento (¡pero sin mirar el gúgol!) para escribir un número racional como este, 5,38 461538 461538…, en forma quebrada, o sea como un par de enteros a/b.

(Ayudita. Se trata de distinguir entre la parte periódica y la no periódica de las cifras decimales de estos números. Y ello con objeto de, mediante una hábil manipulación basada en la multiplicación y la sustracción, hacer que desaparezcan esas aburridas cifras o conjuntos de cifras que se repiten sin parar. En este caso, se trata de eliminar las cifras 461538 461538…)

Números, 4

La brutal catástrofe que significó para los pitagóricos la inesperada irrupción de la irracionalidad numérica en su armoniosa Weltangschauung (creo que se escribe así) puede calibrarse teniendo en cuenta que para ellos los números naturales y la proporción entre esos números constituían la medida de todas las cosas. “Todas las cosas que pueden ser conocidas –decía Filolao—tienen número. Y no es posible que nada pueda ser conocido o concebido sin número.” Estas ideas se manifestaban no solo en la aritmética de la época, como ya he dicho, sino también en la filosofía, en la cosmología y en las teorías musicales de los pitagóricos.

Ya he comentado el otro día cómo la duplicación del cuadrado provocó la herética aparición primera de la nefasta v2. Pero es que la cosa no quedó ahí. Según una famosa leyenda, en una época en la que Atenas estaba siendo diezmada por la peste, el dios Apolo (ya sabes: el tañedor de lira, hijo predilecto de Zeus) ofreció gentilmente sus buenos oficios, por medio del oráculo de Delfos, para acabar con aquella tragedia. Solo puso una condición: que se duplicase el volumen del altar cúbico que los atenienses habían erigido en su honor. Así que los expertos en duplicar cubos entraron en escena: se remangaron las mangas (valga la redundancia), si es que ya se habían inventado las mangas, y en un pispás duplicaron la arista del altar, con lo que el volumen del cubo se multiplicó por 8, la peste siguió haciendo estragos, y el bueno de Platón llegó a la conclusión de que el verdadero objetivo de Apolo al plantear aquel diabólico problema era… ¡que los atenienses supervivientes ampliasen un poco sus conocimientos geométricos! (Por cierto que el propio filósofo debía estar algo pez en punto a duplicación de cubos, ya que, consultado al respecto por un devoto discípulo, aconsejó prudentemente que le plantearan el asunto al inmortal Eudoxo. ¡Nadie entre aquí sin saber geometría…! Y es que en la duplicación del cubo, puesto que el lado es la raíz cúbica del volumen, para que éste se duplique, el nuevo lado ha de obtenerse multiplicando el antiguo por la raíz cúbica de 2. ¡La cual raíz cúbica es un número tan irracional como v2, naturalmente, y de ahí la platónica prudencia de Platón!)

Ahora bien, dado que las desgracias nunca vienen solas, ocurrió además que la odiosa irracionalidad numérica se introdujo también subrepticiamente por la puerta de atrás de la teoría musical pitagórica, uno de los mayores orgullos de aquella legendaria escuela.

Se ha dicho acertadamente que en los descubrimientos musicales de Pitágoras se manifiestan las primeras leyes cuantitativas de la física. Si, al ser dulcemente tañida por Apolo, una cuerda de la lira emite la nota Do, otra cuerda semejante de longitud doble emitirá también el Do pero de una octava inferior. Entre esos dos sonidos extremos de la octava, las demás notas se corresponderán con cuerdas cuyas longitudes vengan dadas por razones intermedias: 16:9 para el Re, 8:5 para el Mi, y así sucesivamente.

Fascinados por estas divinas proporciones sonoras, los pitagóricos imaginaron que los cuerpos celestes, al moverse allá arriba, emitían una maravillosa aunque inaudible música o “armonía de las esferas”. A los siete planetas conocidos se les adjudicaba la nota musical correspondiente según el orden en que aparecen al observador terrestre: Luna (Do), Mercurio (Re), Venus (Mi), Sol (Fa), Marte (Sol), Júpiter (La) y Saturno (Si). Y luego, procediendo por quintas, la disposición resultante era: Luna, Marte, Mercurio, Júpiter, Venus, Saturno y Sol, que es la misma que hoy subsiste todavía entre nosotros para nombrar los días de la semana. (Platón, en el mito de Er, incluido al final de La república, se hace cumplido eco de estas armoniosas especulaciones.)

Pues bien, al dividir el tono pitagórico en dos semitonos, daba la maldita casualidad de que había que extraer la raíz cuadrada de 9/8. Con el numerador no había problema, ya que sale 3. ¡Pero, en el denominador, la v8 = 2*v2! Dejando de lado cuestiones musicales algo técnicas, como la llamada “coma pitagórica” y otras, diré simplemente que, por culpa de la fatídica v2, en la “armonía de las esferas” empezaron a percibirse ciertas perturbadoras disonancias y cacofonías. (Estos problemas no quedaron básicamente resueltos hasta la publicación, tras la muerte de su autor, de El clave bien temperado de Johann Sebastian Bach.)

Pero, bueno, no nos dispersemos. Volviendo a lo nuestro: que esta claro que, entre los números reales, se hallan los dóciles y obedientes racionales de toda la vida, pero también los tercos, intratables y díscolos irracionales. ¿Cómo definir matemáticamente estos últimos entes? Lo veremos en un próximo post, si Dios no dispone otra cosa.

Racionales

En mi post del otro día, titulado “Números, 3”, propuse un problemilla aritmético que no ha suscitado precisamente lo que se dice una “auténtica avalancha” de enfervorizadas respuestas.

Se trataba de escribir 5,38 461538 461538… en forma quebrada, o sea, como un par de enteros a/b.

Dejando de lado las 5 unidades iniciales de ese número, tenemos:

N = 0,38 461538…
100*N = 38,461538…
100*1000000*N = 38461538,461538…

(El símbolo ‘*’ significa ‘multiplicado por’.)

Así que, restando miembro a miembro las dos últimas igualdades,

100*1000000*N - 100*N = 38461500
99999900*N = 38461500,

de donde

N = 384615/999999

[Al llegar a este feo y abultado número racional, me permito una pequeña digresión de carácter “enciclopédico”.

Vemos en ese denominador un número muy grande compuesto por seis nueves. Y, casualmente, eso me trae a la memoria a don Raimundo Lulio. Alguno de mis pertinaces enemigos políticos aprovechará esta excelente ocasión para decir: menudo jilipollas el Lemu este, que, al ver el número 999999, se acuerda del bueno de don Raimundo, que no tiene nada que ver. ¡Pues sí que tiene que ver! Y puedo afirmarlo así con toda seguridad porque no hace ni dos días que he leído casualmente por ahí una cosita que me viene al pelo. Y es que, puesto a encontrar los “componentes simples” del lenguaje humano, al citado don Raimundo no se le ocurrió mayor extravagancia filológica que proponer ¡una lista de seis nueves!: 9 sujetos, 9 predicados absolutos, 9 predicados relativos, 9 cuestiones, 9 virtudes y 9 vicios. O sea: 999999.

Además, para quienes trajinamos casi todos los días con estos juguetones, aunque un tanto escurridizos, entes de razón, es un dato conocido que ¡todos los números con seis cifras iguales son divisibles entre 13! Y, en este caso, 999999 = 13*76293. Por otro lado, hasta los niños de pecho o biberón saben perfectamente que cualquier número que termine en 5 es divisible entre 5. En el presente ejemplo, 384615 = 5*76923. Y ahora ya podemos proseguir.]

N = 384615/999999 = 5*76923/13*76923

De modo que, simplificando,

N = 5/13

Y, si sumamos ahora las 5 unidades que habíamos apartado,

5,38 461538 461538… = 5 + 5/13

5,38 461538 461538… = 70/13,

que es sin duda un bonito número racional.

Con una simple calculadora de bolsillo puede verificarse que ese resultado es correcto

Números, 5

Dije en alguno de los conceptuosos posts anteriores que, mientras los números racionales presentan siempre un desarrollo decimal regular y periódico, los irracionales se caracterizan en cambio por el caos y el absoluto desorden en que aparecen sus cifras decimales. Sin embargo, esta es una forma provisional y poco satisfactoria de definir estos números, sobre todo por una razón de mucho peso: ¡porque solo tiene sentido para los números de base 10!

Uno de los primeros matemáticos que sintió la necesidad de definir rigurosamente los irracionales fue el inteligentísimo cura católico checo Bernard Bolzano. Por desgracia, al buen hombre no se le ocurrió mayor extravagancia que vivir y trabajar en Praga, en uno de cuyos templos apacentaba a una nutrida y devota feligresía. De modo que sus trabajos científicos fueron casi siempre minuciosamente ignorados por los colegas europeos. Baste decir que su estudio sobre este asunto de los irracionales, escrito en la primera mitad del siglo XIX, no fue publicado y conocido en el resto de Europa hasta el año 1962. Así que el mérito se lo llevaron luego otros listillos. Concretamente, Weierstrass, Méray, Dedekind y Cantor. Yo me limitaré a exponer aquí la definición de los irracionales que me parece más sencilla, que es la propuesta por célebre solterón Richard Dedekind. Se basa en una llamada Schnitt o “cortadura” que se practica enérgica y fríamente en el conjunto de los números racionales. Se trata en efecto de una especie de navajazo o cuchillada en un cuerpo, pero no hay que asustarse, pues el cuerpo es el Q de los racionales, y el tajo es muy limpio y completamente incruento.

Supongamos un procedimiento cualquiera para dividir el conjunto de todos los racionales en dos clases, A y B, de modo que todo elemento b de la clase B sea mayor que cualquier elemento a de la clase A. Habremos practicado entonces una cortadura en el cuerpo de los racionales. En una situación así pueden darse tres y solo tres posibilidades. (Será conveniente que se preste mucha atención a lo que sigue, donde los signos <, =, > y = han de leerse, respectivamente: “menor que”, “menor o igual que”, “mayor que” y “mayor o igual que”.) Solo puede ocurrir, pues:

1. Que exista un elemento a* que es el mayor de A. Tal sería el caso si, por ejemplo, A consta de todos los racionales = 2/3, mientras que B está integrado por los racionales > 2/3. Aquí a* = 2/3.

2. Que exista un elemento b* que es el menor de B. Un ejemplo sería que A abarcase todos los racionales < 2/3, y que en B se incluyesen los = 2/3. O sea, que ahora b* = 2/3.

3. Que no exista elemento mayor en A ni elemento menor en B. Este sería el caso, p. ej., de que A constase de todos los números racionales cuyo cuadrado es < 2, y que en B estuviesen todos los racionales cuyo cuadrado es > 2. Obsérvese que, también en este tercer caso, A y B incluirían conjuntamente a todos los números racionales, ya que el número que “falta”, es decir, el número cuyo cuadrado es = 2, resulta ser v2, que, como es sabido y ha sido demostrado, no es un número racional.

Podría pensarse que aún cabe una cuarta posibilidad: que A tenga un elemento a* que sea el mayor de A, y que B tenga un elemento b* que sea el menor de B. Pero, en tal supuesto, el número racional (a* + b*)/2, intermedio entre a* y b*, sería mayor que a* y menor que b* ¡y no podría pertenecer ni a A ni a B!

De los tres únicos casos posibles antes expuestos, en el tercero la cortadura de Dedekind define o, mejor dicho, es un número irracional. Yo he puesto el conocido ejemplo de v2, pero el razonamiento es general, y sirve para cualquier otro número

Números, 6

Todos los racionales y una parte de los irracionales son números algebraicos, es decir, raíces de polinomios no nulos. Ejemplos al canto:

2x – 5 = 0, x = 5/2
x^2 – 7x + 1 = 0, x = 7/2 ± (3/2)*v5, etc.

Otros irracionales, como los famosos y fundamentales e = 2,7182818284… y p = 3,141592653…, no son en cambio raíces de ningún polinomio, o sea, no son números algebraicos, sino trascendentes. Así los llamó Euler (pronúnciese Óiler), que decía de ellos que “trascienden al poder de los métodos algebraicos”. Desde tiempos inmemoriales se había sospechado, en efecto, que ni e ni p eran algebraicos, ya que ninguna ecuación algebraica los había producido nunca como raíces. Tras ímprobos esfuerzos y un notable incremento de canas en sus nobles sienes, hacia 1873, Charles Hermite logró demostrar la trascendencia de e, llamado número de Euler o de Néper, que es base de los logaritmos naturales. Se le sugirió entonces a aquel buen hombre que, ya puestos, probase también de paso la trascendencia de p. A lo que don Charles respondió indignado que “no, gracias”, que “a otro perro con ese hueso”, etc. Así que tuvo que hacerse cargo del negocio un tal Ferdinand Lindemann, quien, y haciendo uso de procedimientos semejantes a los utilizados por su extenuado colega, demostró con inesperada facilidad la trascendencia de ese pi-jotero número. Número, por cierto, llamado de Arquímedes, que fue quien tuvo la impertinente ocurrencia de sacarlo a relucir hace un buen puñadico de siglos, allá en la bella Siracusa.

Pero… ¿hubo alguna vez once mil vírgenes?, se preguntaba, comprensiblemente angustiado, nuestro genial novelista y dramaturgo Enrique Jardiel Poncela. Algo parecido se les planteaba a Euler, Hermite y Lindemann, entre otros, con respecto a los números trascendentes: ¿existirá –se preguntaban-- algún otro número de este tipo, además del p y del e? Y es que, aparte de esos tan extraños ejemplares, los matemáticos eran por completo incapaces de hallar otros. Así que en un cierto momento llegaron a pensar que el e y el p eran los únicos números trascendentes, unas auténticas rarezas, unas repugnantes muestras de alguna extraña teratología, por así decir, en el conjunto de los irracionales. La réplica a tan restrictivo planteamiento ontológico la dieron: primero, don Joseph Liouville, y luego, con una contundencia muchísimo mayor, don Georg Cantor.

Liouville optó por dedicarse a la heroica tarea de construir números trascendentes. No voy a entrar en el asunto éste, que es bastante peliagudo. Sólo diré que este señor descubrió, por ejemplo, que log 2, 2^v2 y otros caprichos numéricos semejantes son trascendentes. Otro ejemplo, dizque fácil de recordar, es el llamado número de Mahler (no don Gustav, sino don Kurt): 0,1234567891011121314…

Y en eso llegó Fidel… Quiero decir, en eso llegó el tío Cantor con la rebaja. Que fue en realidad un sorprendente incremento: descubrió que los números trascendentes eran infinitos. Es más: demostró de manera incontestable que la cardinalidad de los trascendentes es infinita no enumerable. O, dicho en términos coloquiales: que la cantidad de números trascendentes es infinitamente superior a la de los números algebraicos, sumados racionales e irracionales.

Pero esto merece capítulo aparte.

Números, 7

Los números reales se dividen, así pues, según hemos visto una y otra vez, en racionales, que son todos ellos algebraicos, e irracionales, parte de los cuales es también de carácter algebraico mientras que otra parte es trascendente.

El conjunto N de los números naturales, 1, 2, 3, …, es infinito. Todo conjunto numérico que puede ser puesto en correspondencia biunívoca con N, o sea, todo conjunto cuyos elementos se pueden contar, es un infinito contable o enumerable, infinito al que don Georg Cantor tuvo el afortunado capricho de denominar álef0. Hay también infinitos que son mayores que álef0, infinitos no enumerables, los cuales se designan correlativamente como álef1, álef2, y así de seguido. Pero en esto no voy a entrar, de momento.

Dicho lo cual, las dos cuestiones decisivas en la problemática numérica que estamos fatigando son:

1. Que el conjunto de los números racionales Q es infinito enumerable. Para demostrarlo, basta con contar todos los números racionales. Los cuales números pueden “contarse”, es decir, pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales, siempre y cuando los ordenemos convenientemente del primero al “último”. Hay varios procedimientos posibles para ordenarlos. Uno de ellos es este: tener en cuenta las sumas de numerador y denominador de cada uno de los racionales. Hay un solo racional en el que esta suma numerador + denominador es 2: se trata de 1/1. Para la suma 3 están: 1/2 y 2/1. Para 4: 1/3, 2/2 y 3/1. Para 5: 1/4, 2/3, 3/2 y 4/1. Y así sucesivamente, o &c. En esta lista eliminamos aquellas fracciones que no sean irreducibles, tales como 2/2, 2/4, 3/3, 4/2…, ya que estos racionales, simplificados, equivalen a otros ya incluidos previamente: 1, 1/2, 1, 2… De esta manera se establece una estricta correlación uno a uno entre los números naturales y los racionales, probando así, como pretendíamos, que el conjunto de éstos últimos es infinito enumerable.

2. Que, por otro lado, el conjunto o cuerpo de los números reales R es también infinito, pero, ¡ojo!, infinito de una cardinalidad superior, no enumerable. Para demostrarlo, basta probar que no es posible establecer una correspondencia uno a uno entre R y N. Ello se consigue mediante la prueba indirecta, o de reductio ad absurdum, del así llamado procedimiento diagonal de Cantor. Veamos en qué consiste.

Se empieza suponiendo lo contrario de lo que se trata de demostrar, es decir, que sí que es posible establecer ese emparejamiento entre R y N. Considerando solo, por ejemplo, los números reales 0<R<1 (comprendidos entre 0 y 1), tendríamos entonces una lista tal como la siguiente:

1 - 0, 3019537800126439…
2 - 0, 1805438647663491…
3 - 0, 9417482007153106…
4 - 0, 2532107694372858…
5 - 0, 5015319942339472…
6 - 0, 6110764712981154…
. . . . . . . . . . . . . . . . .

Los puntos suspensivos de la línea inferior significan que la lista prosigue y prosigue, como las pilas Duracell, hasta el infinito, enumerando todos los números reales comprendidos en el intervalo (0, 1) considerado.

Ahora bien, la matemática tendrá sin duda sus defectos, pero en estas cosas es muy severa. Si conseguimos encontrar un solo número que no esté en esa lista infinita, habremos probado que la hipótesis de partida es más falsa que Zapatero, quiero decir que Judas. Pues bien, ¡hay un número que falta! Y ese número que falta es evidentemente el formado añadiendo una unidad a las cifras que aparecen en negrita en la “exhaustiva” lista anterior:

0, 4922347…

Pues, en efecto, este número difiere del primero de la lista, al menos, en la primera cifra; difiere también del segundo de la lista, al menos, en la segunda cifra; del tercero, al menos en la tercera cifra; … ;del n-simo, al menos en la n-sima cifra. ¡Es, en definitiva, un número no incluido en la infinita lista anterior! Ergo, el conjunto R de los números reales es infinito, sí, pero no enumerable. QED.

Recapitulando, hemos probado hasta aquí, por tanto: 1) que el conjunto R de los números reales es un infinito no enumerable, o sea, un infinito de orden superior al álef0, y 2) que el conjunto Q de los racionales es, en cambio, un conjunto sí enumerable, o álef0. De lo que, puesto que los números reales se componen tanto de racionales como de irracionales, se deduce sin duda que la no enumerabilidad de R es únicamente atribuible a su parte irracional. ¡Son, por tanto, los irracionales quienes tienen la culpa de este turbio asunto, es decir, quienes poseen una cardinalidad infinita no enumerable!

En el próximo post veremos el hecho tan sorprendente que de aquí se deriva.

Números, 8 (31/12/2006)

Tuve en mis años mozos varias novias monísimas y muy cariñosas, pero un solo excelente profe de matemática, llamado señor Ros. Nunca llegamos a conocer los discentes su nombre de pila (¿Pepe, Juanito, Evelio, Saturnino?). La especialidad del señor Ros era la, así llamada, teoría analítica de números. Y sus (de él, no de ella) dos características más destacables desde el ángulo o punto de vista pedagógico eran tanto la minuciosidad como la pulcritud expositivas.

“Buenos días, señores –nos saludaba alegremente una mañana cualquiera de primavera, mientras, con insuperable delicadeza y elegancia, y como si de un bomboncito relleno de exquisito licor de frutas se tratase, pinzaba al desgaire un trozo de tiza blanca entre los dedos índice y pulgar de la mano izquierda--. Hoy nos centraremos, si a ustedes les parece bien, en las series de Dirichlet.”

Y, en vista de que ninguno de nosotros, a causa más que nada de nuestra densa ignorancia, tenía de momento nada de particular que objetar a aquella apasionante temática ma-temática, el señor Ros se ponía muy gracioso en puntas de pie y escribía en grandes letras mayúsculas en lo alto de la pizarra: Día tal del mes cual del año 1900 y pico: SERIES DE DIRICHLET.

Y a continuación, sin dejar ni por un instante de hablarnos y explicárnoslo todo con voz alta, clara y muy bien timbrada, iba rellenando la enorme pizarra con fórmulas y más fórmulas, definiciones y más definiciones, teoremas, lemas, corolarios y escolios y más teoremas, lemas, corolarios y escolios, perfectamente caligrafiados y legibles todos ellos. De vez en cuando, hacía el señor Ros una pequeña pausa y se volvía solícito a preguntarnos, con una sonrisa (como se dice) de oreja a oreja: “¿Alguna duda? ¿Alguna pregunta sobre alguno de estos puntos, señores míos?” O bien se detenía un segundo, y, con el dedo meñique de la mano derecha, tras untárselo disimuladamente con un poco de salivilla, borraba, por ejemplo, el rabito inferior de la zeta griega, que le había salido quizá un tanto feúcho, quizá un poquitín demasiado largo, y volvía a trazarlo correctamente.

Al cabo de unos diez o quince minutos, según calculo yo ahora, metidos ya todos nosotros, los alumnos, al menos hasta el cuello en harina matemática, el señor Ros hacía una pausa más solemne. Lanzaba el restante trocito de tiza a la papelera más próxima, se limpiaba los dedos con un impoluto pañuelo o moquero blanco como la nieve, y enunciaba una frase muy distintiva suya, que se me ha quedado grabada durante todos estos años:

“Bien, señores… Y ahora, para fijar ideas, imagínense ustedes que…”

Eso a mí me llamaba mucho la atención: que, “para fijar ideas”, el impecable y pulquérrimo señor Ros creyera conveniente o aconsejable prescindir por completo de la ayuda de tizas y pizarra, y lo fiase todo al instrumento oral…

En fin…

Tras esta extemporánea digresión, volvamos a lo nuestro.

Pero eso será ya en un próximo post, si así os parece. El año que viene

Números, 9

Se denominan algebraicos todos aquellos números x (reales o complejos: de estos últimos hablaré otro día) que satisfacen una ecuación algebraica general de la forma

an*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + … + a1*x + a0 = 0, [*]

donde los n=1 que aparecen tras las ‘a’ son subíndices, con an?0, y los distintos ak son enteros positivos o negativos. Para n = 1, las ecuaciones algebraicas correspondientes nos proporcionan los distintos números racionales. Así, de

7x – 5 = 0, obtenemos x = 5/7.

Para n > 1, los resultados son en general, aunque no siempre, números irracionales. Por ejemplo, las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado

x^2 – 7 = 0,
3x^3 + x^2 - 8x -3 = 0
7x^4 + 2x^3 – 5x^2 + x – 8 = 0

tienen raíces tales como x = ±v7, o raíces cuadradas, cúbicas y cuartas del tipo a ± b*c^(-2), etc.

Dejando pues de lado casos tan raros y difíciles de encontrar como p y e (a los que llamamos números trascendentes, pues no proceden de ninguna ecuación algebraica), parecía sensato concluir que la casi totalidad de los números reales no son, a fin de cuentas, más que números algebraicos, racionales unos e irracionales los otros.

El siempre sorprendente Georg Cantor fue capaz de probar, sin embargo, de la manera más sencilla imaginable que esa tranquilizadora idea que se hacían los matemáticos no tenía ni pies ni cabeza. Para ello le bastó con demostrar que, al igual que N y que Q, ¡el conjunto de los números algebraicos también es infinito enumerable! He aquí cómo procedió.

A la ecuación general (*) le asignó un entero positivo que denominó su “altura”:

h = |an| + |a(n-1)| + … + |a1| + |a0| + n,

donde las barras a derecha e izquierda de las ‘a’ indican el valor absoluto. Es claro que para cualquier valor dado de h hay solo un número finito de ecuaciones (*) con esa altura h. Cada una de tales ecuaciones puede tener como máximo n raíces diferentes. Por lo tanto, solo puede haber un número finito de números algebraicos cuyas ecuaciones tengan altura h, y siempre podremos disponer tales números en una sucesión empezando por los de altura 1, siguiendo luego con los de altura 2 y así sucesivamente. ¡Se trata, así pues, de una totalidad infinita enumerable!

De esta forma indirecta, don Georg Cantor demostró:

a) que existen números reales que no son algebraicos, y

b) que estos números reales no algebraicos, llamados trascendentes, tienen la misma numerosidad o cardinalidad de R, o sea, la potencia del continuo, ¡el infinito no enumerable!

En suma, que estos números tan “raros” y extravagantes llamados trascendentes, quizá sean extravagantes, pero raros, lo que se dice raros, no lo son en absoluto, ya que forman la inmensa mayoría, por así decir, de los números reales. Si el cuerpo R es infinito no enumerable, ello se debe precisamente, repito, a que el conjunto de los trascendentes tiene la potencia del continuo.

Si, pese a su excepcional numerosidad, los matemáticos se han pasado siglos y siglos sin encontrar más números trascendentes que p, e, 7^v2 y otras cosillas por el estilo, habrá que pensar que a estos señores les ha ocurrido lo que a aquel célebre personaje del romanticismo francés, la deliciosa Catherine, de Georges Sand, “qui a de quoi attirer les épousseurs, et elle n’aura que l’embarras du choix”…

Números, y 10

Se tiene en general la idea de que lo simple es sencillo y lo complejo es complicado. Pero, en matemática al menos, suele ocurrir muchas veces lo contrario: lo simple es complicado y lo complejo es sencillo. Acordémonos de los “grupos finitos simples”. Si hoy tenemos la satisfacción de poder afirmar sin duda alguna que existen 26, y solo 26, grupos simples de la modalidad “esporádica”, ello hemos de agradecérselo a don Daniel Gorenstein y una infinidad de colegas matemáticos que aunaron con él ímprobos esfuerzos y, en los años setenta del pasado siglo, con la ayuda de potentes ordenadores, lograron dar la demostración completa de tan notabilísimo factum numérico. El teorema ocupa en su versión impresa diez hermosos volúmenes en papel biblia, de 1000 páginas cada uno, que yo, como probo antiyanqui, tengo encuadernados en lujosa piel de becerro de Malibú esquina Hollywood. Las tardes lluviosas de la temporada otoño/invierno, cuando ya la primavera asoma su atractiva naricilla en el Corte Inglés, a mí las visitas de familiares o amigos me encuentran a veces leyendo en mi sillón de orejas preferido, con una vaga sonrisa masoquista de satisfacción, uno de estos entretenidísimos volúmenes. Si alguno de los visitantes me pregunta “Qué lees, chico”, yo pongo un gesto un poco compungido, y me disculpo habilidosamente: “Mira. Bah. Es más que nada por aquello de la mens sana, ya sabes.”

Y es que en realidad, los números más difíciles de la matemática son precisamente los más simples: los números naturales, 1, 2, 3, … Como decía Gauss, la teoría de estos números, iniciada genialmente por Fermat, es “la Reina” de la matemática, es decir, una dama inaccesible o de muy difícil acceso, según se creía entonces, cuando aún no existía este invento diabólico, la Internet, que tanto nos ha abierto los ojos a algunos acerca de la realeza y otras desagradables materias.

Los llamados números complejos, que son los que agrupan a todas las demás clases de números, resultan, en cambio, ridículamente sencillos. Son los de la forma a + bi, donde a y b son números reales cualesquiera, e i es la unidad imaginaria, según la denominó el bueno de René Descartes en el siglo XVII. De ahí que se llamen complejos: tienen una parte real, a y una parte imaginaria, bi. Y ¿qué es esa unidad imaginaria? Pues algo que surge de una ecuación tan normalita como

x^2 + 1 = 0, de donde x^2 = -1.

Ahí está el bicho, la unidad imaginaria, la x que vale i, es decir v(-1). De modo que i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, … O sea, las potencias pares de i son siempre -1, 1, mientras que las impares son i, -i.

Ni el propio Descartes, ni Newton, ni Bombelli, ni otros matemáticos posteriores comprendían esta extraña unidad. Desconfiaban de ella, pero les fascinaba. Euler, el gran manipulador, estableció una llamativa ecuación:

e^i? = cos? + isen?,

de donde, haciendo ? = p, y teniendo en cuenta que cos ? = -1 y sen ? = 0, resultaba la que los matemáticos consideran la expresión más bella de toda la matemática:

e^ip + 1 = 0.

A mí personalmente este me parece un verdadero milagro, y no las tonterías aquellas del Lázaro, los panes y los peces y demás. El hecho de que los cinco principales números de la matemática, los naturales 0 y 1, los trascendentes e y p, y el imaginario i estén tan íntima, tan casi obscenamente interrelacionados, me resulta, no sé… ¡muy excitante!

Pero dejo aquí esta prolija temática de los números complejos, pues su desarrollo me llevaría ella sola, al menos, otros 10 posts. De un contenido, además, siempre muy sencillito. Así que los interesados podéis mirarlo por ahí. O sea, en el gúgol, como es natural.