Topología euleriana Lemuel

Autor: Lemuel

Para un topólogo, un “donut” y la taza de café con leche en la que uno moja el “donut” antes de desayunárselo en la cafetería de la esquina son figuras geométricas equivalentes, pues ambas tienen un agujero, y uno solo, que las atraviesa. Si el donut y la taza fuesen de plastilina, un artesano medianamente habilidoso podría manipularlos de manera continua convirtiendo en un pis pas el donut en una taza de café o viceversa. Pues bien, la topología o analysis situs es la disciplina que estudia aquellas propiedades de los objetos geométricos que permanecen inalteradas al ser sometidas a transformaciones continuas. (Aquí sería oportuno sacar a relucir términos técnicos tan bonitos como homeomorfismo y otros por el estilo, pero eso sería ponerse demasiado ceñudos, creo yo.) En topología, las circunferencias, los triángulos y los cuadrados son una y la misma cosa. Lo mismo puede decirse de la esfera ordinaria y la llamada esfera cornuda de Alexander (que es una cosa horrorosa, dicho sea aquí en confianza). En topología no cuentan para nada vulgares conceptos geométricos tales como perpendicularidad o paralelismo, longitudes, áreas o medidas de ángulos. Lo que importa en topología es si tal figura tiene o no tiene agujeros, cuántos agujeros tiene, si tiene cinco o seis aristas, dos o tres vértices, etc.

Pero, en fin, no nos enrollemos y vayamos a lo que íbamos: que resulta que don Leonhard Euler, como era previsible dada su plurilateral y vertiginosa actividad científica, se convirtió también de hecho en el precursor o “inventor” de esta rama de la matemática, en concreto de la teoría de grafos o de redes. Y eso ocurrió en 1735, cuando resolvió sin darle mayor importancia el célebre problema de los siete puentes de la ciudad de Königsberg, luego llamada Kaliningrad.

En el río Prezel que atraviesa la urbe existen dos islas unidas por un puente. Además, en una de las islas había dos puentes que la conectaban con cada una de las dos orillas del río, y la otra isla tenía cuatro puentes, dos de ellos hacia una orilla y los otros dos hacia la otra.

Por lo visto, los domingos soleados, después de oír misa y para intentar sacudirse el pertinaz sopor o modorra sobrevenidos a causa de la sagrada ceremonia, los ciudadanos de la ciudad solían dar largos paseos siguiendo itinerarios que incluían aquellas islas. Y la pregunta que se planteaban era: ¿existía la posibilidad de atravesar todos los puentes pasando por cada uno de ellos solo una vez?

Para resolver la cuestión, Euler hizo abstracción y eliminó del escenario físico todos aquellos elementos geométricos secundarios que dificultaban la percepción exacta del problema. Consideró tan solo la red formada por los siete puentes, que se convirtieron en líneas o aristas, y los puntos o zonas unidas por ellos, que pasaron a ser simples vértices.

Con respecto a los vértices, cualquiera de ellos que no sea punto de partida o de llegada de un recorrido debe tener un número par de aristas que confluyan en él, ya que tales aristas pueden hacerse corresponder con pares “camino de entrada/ camino de salida”. Ahora bien, cada uno de los cuatro vértices tiene un número impar de aristas concurrentes, por lo que no puede existir ningún recorrido que satisfaga la condición impuesta. Es decir: no existe posibilidad ninguna de dar un paseo que cruce cada puente de Königsberg una y solo una vez.

Una vez que le han explicado a uno este tipo de problemas, uno dice: ¡bah, qué tontería!, ¡más fácil, imposible! Pero lo verdaderamente meritorio es sobre todo que haya siempre a mano un Leonhard Euler que piense un poco por nosotros y nos explique luego estas facilísimas tonterías.

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