Autor: Lemuel
Tartaglia y Cardano, 1
Para lo que quiero decir sobre estos temperamentales matemáticos italianos del siglo XVII necesito introducir unas sencillas ideas algebraicas previas. Todos sabemos de sobra estas cosas, pero quizá hay algún olvidadizo.
Una ecuación de primer grado es una expresión tal como
ax + b = 0.
Las letras ‘a’ y ‘b’ representan números racionales cualesquiera, positivos o negativos: ‘a’ es el coeficiente de ‘x’, y ‘b’ es el llamado término independiente. En cuanto a la propia ‘x’, se trata de la ‘cosa’, es decir, de la incógnita, cuyo valor hay que averiguar. Se dice que una ecuación como esa es de primer grado porque la ‘x’ que en ella aparece es lineal, o sea, está “elevada” solo a 1. La resolución de este tipo de ecuaciones es inmediata y trivial.
Lo que se hace es, en primer lugar, pasar al segundo miembro el término independiente, cambiándolo de signo:
ax = -b,
y, en segundo lugar, despejar la x:
x = -b/a.
Por ejemplo:
-7x
+ 3 = 0
-7x = -3
x = -3/-7 = 3/7.
Casi igual de sencilla es la resolución (conocida desde la más remota antigüedad) de las ecuaciones de segundo grado, que son las de la forma
ax^2 + bx + c = 0.
Multiplicando esta ecuación por 4a,
4(a^2)(x^2) + 4abx + 4ac = 0.
Sumando y restando b^2,
4(a^2)(x^2) + 4abx + b^2 – b^2 + 4ac = 0
(2ax + b)^2 = b^2 – 4ac
2ax
+ b = ± 
[(b^2) – 4ac]
x
= {- b ±[(b^2) – 4ac]}/2a.
Lo cual, por si hubiera alguna duda, se lee así:
«X es igual a: – b más menos la raíz cuadrada de b elevado al cuadrado menos 4ac, dividido todo ello por 2a.»
Por ejemplo,
2x^2 -7x + 3 = 0
x = {7 ± v(49 – 24)}/4 = {7 ± 5)}/4,
de donde resultan dos soluciones:
x1 = 3, x2 = ½,
valores que puede comprobarse que son correctos sin más que sustituirlos sucesivamente en la ecuación dada.
Hasta aquí, como se ve, todo fue coser y cantar.
Sin embargo, el paso siguiente, encaminado a resolver las ecuaciones de tercer grado, no resultó ni mucho menos tan fácil de dar, como veremos. Y fue un paso en el que, sin acompañamiento musical alguno, danzaron conjunta y un tanto pasionalmente un buen puñado de temperamentales matemáticos no siempre bien avenidos, entre ellos los afamados Tartaglia y Cardano.
Tartaglia y Cardano, 2
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,
o bien, dividiendo todo por a,
x^3 + px^2 + rx + s = 0.
Ecuación de la que, como puede comprobar el voluntarioso lector, es posible eliminar el término en x^2 mediante el cambio
x = y – t/3,
con lo que tendríamos
y^3 + py + q = 0.
El paso siguiente (cuyo desarrollo completo no voy a dar aquí, pues es, lo reconozco paladinamente, un tanto, digamos, “laborioso”, o sea, plasta para los no enviciados) consiste en hacer
y = u + v,
con lo que
(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0
u^3 + v^3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0,
de donde, poniendo
u + v = A, uv = B, v = A – u, u(A-u) = B,
y con
u^2 – Au + B = 0,
se pide que
3uv
+ p = 0
u^3 + v^3 + q = 0, etc.,
y, pasado no mucho tiempo, se va escurriendo a lo tonto a lo tonto, para llegar finalmente y como quien no quiere la cosa a la algo intrincada expresión
(q^2/4
+ p^3/27)}^1/3 + {-q/2 + (q^2/4 - p^3/27)}^1/3
(Vea, por ejemplo, el curioso lector para más detalle http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html )
Ahora bien, la horrorosa cosa anterior (por la que Dios nos perdone en su infinita bondad) se llama, no fórmula de Tartaglia, como sería lo lógico y natural, sino fórmula de Cardano. ¿Cómo se explica tal cosa?
Es lo que veremos en el próximo y último pedazo de este post