No pretendo profundizar en este fascinante asunto de las series numéricas, cuyo cabal desarrollo proporcionaría materia sobrada, según calculo, para no menos de treinta o cuarenta posts bastante densos y de regular tamaño. Solo voy a tocar la cuestión muy por encima.

Empezaré recordando algunas nociones básicas.

Una sucesión numérica infinita es algo así como
u1, u2, u3, …, un, … , donde las ‘u’ son números reales, los 1, 2, 3, …, n son subíndices adjuntos a las ‘u’, , y un = f(n) es el término ene-simo de la sucesión. Ejemplo: 1, 4, 9, …, n^2, … Aquí el término ene-simo o general es n^2, del cual, dándole a n los valores 1, 2, 3, …, van resultando los citados términos de la sucesión: 1, 4, 9, …

Se llama serie numérica infinita la expresión

S = u1 + u2 + u3 + … + un + …,

la cual puede escribirse también, en abreviatura, como un, es decir, ‘sigma u sub ene’, que quiere decir: la suma de todos los términos ‘un’, desde n = 1 hasta n =

La suma de tan solo los n primeros términos de una serie numérica se designa por Sn y se llama “suma enésima parcial”. La serie infinita S se considera que es convergente si Sn tiende a límite finito cuando n crece indefinidamente, es decir, si lím Sn = S cuando n tiende a 8. Ese número S se llama suma de la serie. Si, en cambio, Sn no tiende a un límite finito cuando n tiende a , se dice que la serie es divergente, o que su suma es infinita.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Consideremos el sencillo ejemplo de la llamada serie geométrica de razón r < 1:

S = a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^k + … (*)

[Ejemplo: 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + ... + 2/3^k + … ]

Como hizo en su tiempo Jakob Bernoulli, multipliquemos por r esa serie (*)

S.r = ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^(k+1) + …

Restando de (*) esta última expresión, tenemos

S(1-r) = a, de donde resulta

S = a/(1-r),

ecuación que nos proporciona la suma de la serie siempre y cuando, repito, sea r < 1, pues si no la S sería .

[En el ejemplo anterior, sería 2/(1 – 1/3) = 3.]

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El gran Leibniz se enfrentó audazmente con, y fue capaz de sumar de manera muy elegante, la curiosa serie

1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + … (**)

Expresión que, de entrada, plantea el problema (que a muchísimos estudiantes se les (nos) atraganta a veces de muy mala manera) de hallar su término general. Observemos los denominadores:

1, 3, 6, 10, 15, …

¿Cuál será aquí el denominador n-simo? Esforzándose un poco, no es demasiado difícil ver que ese denominador es n(n+1)/2, el llamado “número triangular” de los griegos. (Compruébese: para n = 1, resulta 1; para n = 2, resulta 3; para n = 3 resulta 6, etc.) Por lo tanto, el término general será el inverso de ese denominador, ‘un’ = 2/n(n+1). De modo que nos enfrentamos con conocida serie llamada “telescópica”, 2/n(n+1).

Para resolverla, el habilidoso Leibniz escribió (**) de la siguiente manera:

2 (1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + …) =

2 [(1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + …].

Evidentemente, los términos -1/2 + 1/2, -1/3 + 1/3, … se anulan dos a dos hasta el infinito, con lo que solo queda finalmente

2 [1] = 2.

Series numéricas, II

Para que una serie sea convergente es necesario que su término general tienda a 0 (o sea, cero) cuando n tiende a infinito (es decir, ). Es esta una condición necesaria pero no suficiente para la convergencia. Dicho de otro modo: el término general de cualquier serie convergente tiende a cero, es verdad, pero no todas aquellas series cuyo término general tiende a cero son convergentes, ojo. El ejemplo más ilustrativo de ello es el de la llamada serie armónica:

1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … + 1/n + …,

la cual es divergente, pese a que 1/n tiende a cero cuando n se hace indefinida o infinitamente grande.

Existen muy variadas e interesantes demostraciones de esta célebre divergencia. A Jakob Bernoulli se debe una de ellas. Pero yo daré aquí otra más sencilla, la utilizada en el siglo XIV por Nicolas Oresme, obispo de Lisieux, basada en el llamado criterio de comparación: si los términos de la serie armónica son mayores uno a uno que los de otra serie divergente, la serie armónica será divergente a fortiori.

Consideremos, en efecto, la siguiente serie:

1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + …

Olvidando de momento los paréntesis que he puesto, vemos que esos términos los hemos obtenido sustituyendo 1/3 por 1/4, que es un número menor, y 1/5, 1/6 y 1/7 por 1/8, que es también un número menor. Así proseguiríamos luego, sustituyendo los siguientes ocho términos por 1/16, etc. Es evidente, por tanto, que los términos de esta nueva serie son todos iguales o menores que los de la armónica. Ahora bien, sumando los números incluidos entre paréntesis, tenemos

1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + … = 1 + n/2,

con n tendiendo a 8, con lo que la serie diverge a .Por lo tanto la serie armónica diverge también a

La armónica es el caso más sencillo (p = 1) de las llamadas p-series:

1/k^p = 1 + 1/2^p + 1/3^p + 1/4^p + …

Un caso aparentemente un poco más complicado es el que corresponde a p = 2, es decir:

1/k^2 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …

Obsérvese el anodino aspecto que presenta esta serie, con las potencias cuadradas sucesivas de los números naturales como denominadores: 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...

Pero, ¡ay, queridos amigos míos! Como decía aquel traductor de Esopo, aquí nos topamos inesperadamente con un auténtico hic, Rhodus, hic salta. Una cosa de tan inocente aspecto como esa burló durante muchos años los esfuerzos de los más potentes cerebros matemáticos. Pietro Mengoli se declaró, el primero, incapaz de resolverla. El formidable Leibniz, el mismísimo don Gottfried Wilhelm, vencedor en tantas gloriosas lides seriales, pese a las muchas vueltas que le dio al asunto en su cabeza, fue incapaz de sumar esos humildes números. El citado y laborioso Jakob Bernoulli le dedicó así mismo inútilmente los mayores esfuerzos imaginables: cabe imaginar su frustración ante una serie de apariencia tan sencilla. «Grande será nuestra gratitud –escribió el buen hombre al final de su laboriosa vida, desde Basilea— si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos.»

Cuando este excelente matemático murió en 1705, aún faltaba un año para que naciese la persona que resolvería finalmente el endiablado enigma, el cual enigma era ya conocido como “el problema de Basilea”. Esa persona, suiza también como Bernoulli, no sería ni más ni menos que el portentoso Leonhard Euler, a mi juicio uno de los cuatro grandes de la historia de la matemática, junto con Arquímedes, Newton y Gauss.

En un próximo post intentaré (ya veremos si lo consigo, con la ayuda de Dios) explicar cuáles fueron los pedregosos y casi intransitables caminos que recorrió este inaudito monstruo para acceder a buen puerto.

Series numéricas, y III

Treinta años después de la muerte de Bernoulli, en 1735, Leonhard Euler escribía pletórico de satisfacción:

«Contra todo pronóstico, he encontrado una expresión elegante para la suma de la serie 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + etc., que depende de la cuadratura del círculo. He hallado que seis veces la suma de esa serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 1.”

Dicho en sermo vulgaris: 1/k^2 = (p^2)/6.

Verdaderamente increíble: ¡la suma infinita de una serie de vulgarísimos números racionales resultaba ser equivalente a la sexta parte del cuadrado del número trascendente por antonomasia, p! ¡Parecía cosa de magia, o una simple broma de don Leonhard! Pero no: veamos paso a paso cómo llegó a ese resultado el gran matemático.

Partió de una serie funcional que aparentemente no tiene nada que ver con la serie dada, el polinomio infinito:

P(x) = 1 – (x^2)/3! + (x^4)/5! – (x^6)/7! + (x^8)/9! - …,

donde, como es sabido, el factorial de 3, o sea 3! = 3*2*1, el 5! = 5*4*3*2*1, etc. Para x = 0, el valor de P(x) es P(0) = 1. Para hallar las raíces de P(x) = 0, hay que tener en cuenta que, si x ? 0, se puede escribir

P(x) = x [1 – (x^2)/3! + (x^4)/5! – (x^6)/7! + …]/x =
[x – (x^3)/3! + (x^5)/5! – (x^7)/7! + …]/x

Ahora bien, el numerador que aparece aquí entre corchetes es el conocido desarrollo en serie de Taylor/Mac Laurin de sen x. Quienes no recuerden de sus años mozos la justificación de esa equivalencia tendrán que creérsela ahora que tienen barriga y peinan canas, pues no es cosa de que me ponga a demostrarla. De modo y manera que resulta

P(x) = senx/x

Por lo tanto, siempre que x=/=0, resolver P(x) 0 equivale a resolver senx/x = 0, es decir, senx = 0. Quienes no sean amnésicos y recuerden un poco de la trigonometría elemental que aprendieron en el cole durante su dorada adolescencia franquista saben que esta ecuación se verifica para x = 0, ±p, ±2p, … Dado que x = 0 la hemos eliminado como solución de P(x) = 0, ya que P(0) = 1, solo quedan los demás infinitos valores con signos ±.

El formidable Euler procedió, pues, a escribir la siguiente descomposición en factores:

P(x) = 1 – (x^2)/3! + (x^4)/5! – (x^6)/7! + (x^8)/9! - …
= (1 – x/p)(1 – x/-p)(1 – x/2p)(1 – x/-2p)… =
[(1 – x/p)(1 + x/p)][(1 – x/2p)(1 + x/2p)]… =
[1 – x^2/p^2][1 – x^2/4p^2][1 – x^2/9p^2]… (*)

Con lo cual resultan inesperada o eulerianamente igualados una suma algebraica infinita (primera línea) con un producto infinito.

Cabe la posibilidad de que, llegados a este momento clave, algún lector curioso (si es que a estas alturas queda algún lector, curioso o no, de estas líneas) se pregunte intrigado: pero, bueno, por todos mis asendereados huesos ¿qué demonios tiene que ver todo esto con la serie de partida?, ¿dónde está, si es que está en algún sitio, esa simpática e inofensiva suma que pretendíamos hacer, es decir la 1/k^2 = 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + …?

Pues bien: el paso siguiente nos lo aclara casi como por arte de magia. Don Leonhard Euler, que no se arredraba ante ninguna fruslería que tuviese algo que ver con los números, se puso a multiplicar tranquilamente los infinitos factores, no más, que aparecen en la cuarta línea de (*). Primero multiplicó los infinitos 1, y obtuvo sin dificultad otro 1, como habría hecho cualquier párvulo. A fin de obtener todos los términos con x^2, multiplicó todos los 1 de todos los factores menos el del primer factor, donde eligió el término en x^2, luego lo mismo menos el 1 del segundo factor, donde eligió igualmente el término en x^2, y así sucesivamente, con lo que le resultó:

1 – (1/p^2 + 1/4p^2 + 1/9p^2 + 1/16p^2 + …)x^2 + …

Y no siguió multiplicando más, pues no era necesario: los términos siguientes en x^4, x^6 y sucesivos no se molestó en calcularlos, pues no iban a desempeñar ningún papel en el presente negocio. ¿Vemos ya por dónde asoma el escurridizo conejito en la chistera? ¿No? Comparemos la primera línea de (*) con este último resultado. Es evidente que, para que se cumpla la igualdad que allí aparece, es necesario que sean iguales los términos con la misma potencia de x, y en particular los términos en x^2, o sea:

- 1/3! = - (1/p^2 + 1/4p^2 + 1/9p^2 + 1/16p^2 + …)

Con lo que, multiplicando ambos miembros de esta ecuación por –p^2, queda fulminantemente en evidencia que

1/k^2 = 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 +… = (p^2)/6. QED.

ADDENDA.

1. Cabe preguntarse cómo abordó Euler la siguiente de las p-series, es decir la correspondiente a p = 3:

1/k^3 = 1 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + …=
= 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + …

La respuesta es: ni siquiera él se atrevió a hincarle el diente a esta “inocente” suma. Y nadie después, en doscientos y pico años, lo ha intentado tampoco, que se sepa.

2. Puede pensarse que este tipo de ejercicios matemáticos, por muy brillantes e impresionantes que sean, no sirven en definitiva para nada, o solo para sacudirse el aburrimiento. Craso error: estas aparentes “frivolidades” del cálculo (como ha ocurrido también con el llamado último teorema de Fermat) contribuyen siempre de manera decisiva al avance de la ciencia matemática como un todo.

3. Como ha escrito William Dunham, nadie en la historia de la matemática ha recorrido caminos tan intrincados como los que transitó el portentoso Leonhard Euler. Cierto que al autor suizo se le puede reprochar cierta “alegría” y falta de rigor lógico en su tratamiento de los desarrollos infinitos, que son muy díscolos y traicioneros. Sin embargo, aunque su aproximación a las series infinitas fue ingenua, todas sus maravillosas sumas han sido posteriormente verificadas con el mayor rigor. En palabras del historiador Morris Kline: «Euler fue el gran manipulador que señaló el camino para miles de resultados establecidos más tarde rigurosamente.»

4. «Leed a Euler, leed a Euler. Él es el maestro de todos nosotros.» Pierre-Simon Laplace.