Si mi desagradable radicalismo izquierdoso es sin duda debido a los buenos oficios ideológicos de don Karl Marx, mi pasión juvenil por los números y cuestiones conexas debo agradecérsela así mismo a otro sabio no menos teutón: el gran pedagogo Richard Courant, autor, entre otras, de la mejor obra divulgativa que conozco en su especialidad, titulada ¿Qué es la matemática?. ¡Un libro que leí en su momento con parecido entusiasmo al que suscitó en mí el Tristram Shandy!

En el precioso capítulo dedicado, precisamente, a los límites, y hablando en concreto de la llamada “definición épsilon-delta”(*) de límite, llamaba Courant la atención del lector tanto acerca de la dificultad conceptual de tal definición como del nulo esfuerzo que solían dedicar los enseñantes a facilitarles las cosas a sus alumnos a este respecto. Cualquiera pensaría, decía este autor, “que el hecho de dar explicaciones no resultara muy honroso para la dignidad de un matemático”. Miles de veces he tenido yo luego ocasión de comprobar la justeza de estas palabras de Courant. Se diría que la hondura intelectual y la sapiencia de ciertos profesores han de estar directamente relacionadas con el grado de oscuridad o hermetismo de sus exposiciones teóricas. Una de las últimas veces que me ha asaltado esta sensación ha sido leyendo estos días un librito de Serge Lang, el gran matemático y pedagogo francés recientemente fallecido.

En los años 1981, 1982 y 1983, dio Serge Lang tres célebres charlas divulgativas en el Palais de la Découverte de París ante públicos no especializados. Parece que el hombre se lo pasó pipa. Dicharachero, bromista, amable con sus circunstanciales alumnos, quienes le interrumpían a veces con sus preguntas y observaciones, hubo sin embargo un momento en el que Lang, por lo visto, consideró que no era demasiado honroso para su “dignidad de matemático” dar una sencilla explicación que se le solicitaba. Fue durante su segunda charla, en 1982, dedicada a las ecuaciones diofánticas. La cosa sucedió así.

En un momento dado, Lang saca a relucir la expresión a^2 + b^2 = c^2, y pide al público que proporcione ejemplos de ternas pitagóricas que cumplan esa ecuación, tales como 3, 4, 5, o bien 5, 12, 13. “¿Hay otras soluciones, aparte de estas? ¿Quién dice que sí? ¿Quién dice que no? ¿Quién guarda un discreto silencio? [Risas]” A continuación, se plantea el mismo problema con respecto a la ecuación x^2 + y^2 = 1, que representa una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. Se trata ahora de hallar todos los pares (x,y) de números racionales que cumplen esa igualdad. Y es en este punto donde se produce la inesperada, incomprensible y un tanto estúpida “salida de tono” del matemático francés. Transcribo:

Serge LANG. Antes de determinar todas las soluciones, voy a escribir un buen número de ellas. Sea:

x = (1 – t^2)/(1 + t^2) e y = 2t/(1 + t^2).

Escribo estas fórmulas…

SEÑOR A. [Agresivo.] Pero ¿se le ha ocurrido escribir esas fórmulas así porque sí?…

Serge LANG. No, no se me han ocurrido “así porque sí”, pero a alguien, hace mucho tiempo, se le ocurrieron “así porque sí”.

SEÑOR A. ¿Ah, sí? ¿De repente? (…)

OTRA PERSONA. Esto procede de la trigonometría, ¿no?

Serge LANG. Procede de donde ustedes quieran. Ahora no tengo tiempo de mostrárselo en detalle.

Lo cierto es que Lang, sin razón alguna que lo justifique, se niega en redondo a decir de dónde proceden esas misteriosas ecuaciones paramétricas. Apela a la fe de carbonero del público, cosa obligatoria en teología, pero completamente inadmisible en matemática. Tocado por una repentina prepotencia intelectual, el importante profesor debió considerar que constituía un enorme desdoro para su “dignidad de matemático” descender a dar una explicación tan elemental como la siguiente:

x^2 + y^2 = 1, y^2 = 1 – x^2 = (1 + x)(1 – x), y/(1 + x) = (1 – x)/y = t,

por tanto,

y = t(1 + x), 1 – x = ty,

de donde, despejando x e y, resultan esas “misteriosas” formulitas paramétricas de la circunferencia exhibidas por el señor Lang.

¡Un minuto escaso se tarda en probar algo que el gran profesor, debido quizá a su abismática sabiduría científica, “no tenía tiempo” de mostrar en detalle a sus oyentes!

(*) Lease el artículo Límites del mismo autor (Nota de la administración de la Web)

 

Comentario de NuezMoscada a este articulo.

La didáctica de la matemática sea tal vez tan compleja como la propia matemática, de ahí que el hecho de ser un gran matemático no implica ser un buen profesor de matemáticas. Por otra parte hay gente capaz de comunicar de forma extraordinaria sus escasos conocimientos, consiguiendo funadamentar buenas bases para que el alumno siga su camino sin necesitar coger la mano de nadie. El hecho de que los egregios matemáticos pocas veces se dignen a bajar el nivel de sus explicaciones, no siempre radica en el hecho de una absurda dignidad del profesor sino a una simple y pura impotencia. Hacer comprensible algo tan abstracto como la matemática exige, por parte del profesor, un trabajo previo muy imaginativo y árduo para encontrar diferentes maneras de penetrar en la cabeza del alumno. Esos mecanismos son didácticos, y de eso no se enseña en las facultades de matemáticas (en la mayoría, al menos). En mi opinión, la preparción didáctica de los profesores debería ser un instrumento en clase tan imprescindible como un pizarra.

 

Comentario de kolokao a este artículo

Desde que fuí estudiante de COU tengo para mí que la dificultad de la enseñanza de las matemáticas reside en la doble naturaleza de estas.

Las matemáticas son, a mí entender, por una parte técnica regulada y por otra ideología racionalizada.
Resulta tan imposible entender teoría de funciones sin dominar la mecánica del cálculo como calcular sabiendo lo que se está haciendo sin tener una idea más omenos clara d ela base de la teoría de números.

Eso provoca que el profesor deba adoptar un doble rol: a veces es el hijoputa que suspende por un signo, un formalista lingüístico inaguantable (no lo olvidemos, la manera en que "vemos" la matemática es un lenguaje con un grado de sujección formal muy alto para evitar la paradoja) y otra vez, un menda "simpático" al que el resultado le da igual, porque lo que le interesa es transmitir el razonamiento.

Lo malo es que estas dos veces son simultáneas. El proceso de aprendizaje de la técnica debe darse a la vez que la captación de la ideología "cuantitivizante" del mundo, lo que hace muy dificil la enseñanza y muy poco gratificante (al menos en principio, hasta que la representación del mundo que es la matemática empieza a "encajar") el aprendizaje.

Es por esto a mi entender, junto con la necesidad de usar un lenguaje de gran rigidez formal, que estan complicada la enseñanza de la matemática y su aplicación a las ciencias como dificil es la de la lógica formal en filosofía.

K.

La esencia del cosmos es la vida
la esencia de la vida, es la vida humana
la esencia de la vida humana es el lenguaje
la esencia del lenguaje es la poesía
la esencia de la poesía es la música
la esencia de la música es el número (del Upanishad)

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