Son justamente famosos y celebrados los llamados Tres Problemas de la Matemática Griega: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. A los que mi admirado Richard Courant, en su nunca bien ponderada y maravillosa obra titulada ¿Qué es la matemática?, agrega el de la construcción del heptágono regular.

Acerca de la duplicación del cubo existe incluso una leyenda. En 429 a.n.e. muere Pericles a consecuencia de la peste (una fiebre tifoidea, según se ha averiguado hace poco) que acabaría llevándose con los pies por delante a la cuarta parte de la población ateniense. En medio del comprensible pánico ocasionado por semejante mortandad, a alguien se le ocurrió la salvífica idea de enviar una delegación al oráculo de Delfos para ver si se podía hacer algo para remediar la catástrofe. La respuesta de Zeus y los demás indolentes dioses fue que solo era necesario duplicar el volumen del bonito altar cúbico que allí existía dedicado al buen Apolo. Los atenienses respiraron entonces con gran alivio y se pusieron manos a la obra, duplicando en un periquete las dimensiones del monumento aquel. Es decir que, si altura, anchura y fondo del monumento habían sido de x*x*x = x³ metros cúbicos, ellos cambiaron esas dimensiones por 2x*2x*2x = 8*x³. O sea, que, en vez de limitarse a duplicar, octuplicaron, por así decir, el susodicho volumen. De modo que la peste siguió haciendo de las suyas sin que los cerebros matemáticos más lúcidos de Atenas fuesen capaces de hallar la solución de aquel intrincado enigma.

Y es que, como quedaría demostrado unos veintitrés siglos después, la duplicación del cubo y los otros tres problemas antes citados son de hecho irresolubles utilizando solo la regla y el compás propios de la geometría clásica griega: una regla sin marcas y de un solo borde, y un compás colapsable.

Hay que entender esto con claridad. En relación, por ejemplo, con la cuadratura del círculo, nadie duda de que, dado un círculo de radio r cualquiera, existe un cuadrado con su misma área p*r^2. Para lo cual basta con que el lado del cuadrado L^2 = p*r^2, es decir, L = r*. (Intuitivamente, imaginemos el círculo circunscrito por un hilo con forma de circunferencia. Bastará que demos a esa circunferencia la forma de un cuadrado para tener el área correspondiente. O de otro modo, si dibujamos los círculos inscrito Ci y circunscrito Cc a un cuadrado de área A, es evidente que el círculo C de área A existe y es Ci < C < Cc.)

Lo mismo puede decirse de las otras tres cuestiones: no es matemáticamente imposible duplicar el cubo, trisecar el ángulo ni construir el heptágono regular. Cuando hablamos, así pues, de la irresolubilidad de los cuatro problemas griegos nos referimos, como he dicho antes y (aunque haga feo) repito ahora, a la imposibilidad de construir con la sola ayuda de regla y compás esas cuatro entidades citadas.

Pasando de la geometría a la aritmética, en un próximo post veremos si Dios quiere qué cosa son los llamados números construibles.

 

Números construibles

El infinito conjunto de los números reales se divide en dos subconjuntos mutuamente excluyentes (o disjuntos), a saber, el de los algebraicos y el de los trascendentes.

Llamaremos números algebraicos a las raíces o soluciones de alguna ecuación polinómica tal como

ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + … + gx + h = 0,

donde todos los coeficientes a, b, c, ..., g y h son números enteros o racionales.

Así, el número racional 3/7 es algebraico, pues es solución de la ecuación de primer grado 7x = 3. El número irracional 5 también es algebraico, ya que satisface la ecuación de segundo grado x^2 – 5 = 0. Etc.

Llamamos en cambio números trascendentes a los que no son raíces de ninguna ecuación polinómica como la citada. Aunque en matemática solo se utilizan habitualmente dos números de esta clase, a saber, e y (cuya trascendencia fue demostrada, respectivamente, en 1873 y 1882 por Hermite y Lindemann), es fácil demostrar que la mayor parte de los números reales son trascendentes.

Llamamos construibles a aquellos números que, con ayuda de los instrumentos de dibujo de la geometría clásica griega (la regla y el compás), pueden ser representados sobre una recta en la que hemos señalado dos puntos que indican el 0 y el 1.

Ningún número trascendente es construible: ni e ni ni tampoco sus raíces cuadradas, cúbicas, etc.

Todos los números construibles son algebraicos, aunque no todos los algebraicos son construibles. A partir de 1, es posible construir mediante el compás los correspondientes números deducibles de la unidad mediante procesos racionales de suma, resta, multiplicación y división, es decir, todos los números racionales m/n, siendo m y n enteros y n ‡ o 0. Este sistema numérico es cerrado con respecto a las operaciones citadas, es decir, que la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales cualesquiera son así mismo números racionales. Un conjunto numérico que posee esa propiedad se denomina cuerpo de números.

Ese cuerpo numérico puede ser ampliado mediante números irracionales como, p. ej., a, que también son construibles, como podemos ver con ayuda de la siguiente figura

OB = a
OA = 1
OH = x

 

En la figura hecha con compás,

a/x = x/1, de donde x = a.

El conjunto ampliado de, por ejemplo, los números de la forma

a + b2,
con a y b racionales, es también un cuerpo, es decir que sumando, restando, multiplicando y dividiendo esos números se obtienen números del mismo tipo. Con la suma, la resta y el producto la cosa es fácil de comprobar. Veamos lo que ocurre con el cociente

(a + b2)/(c + d2)

a + b2)(c - d2)/(c^2 – 2d^2) =
[ac -2bd + (bc - ad) 2]/(c^2 -2d^2) =
(ac – 2bd)/(c^2 -2d^2) + (bc –ad)2/(c^2 -2d^2),

número que es también, como se ve, de la forma A + B2.

Salvo que se me haya pasado algo, yo creo que, tras esta pequeña introducción a los número construibles, estamos ya en condiciones de abordar pasito a paso los cuatro irresolubles problemas de la geometría griega, o sea: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, la cuadratura del círculo y la construcción del heptágono regular.

Duplicación del cubo

Nacido cuatrocientos y pico años antes del inicio de la era Vulgar (o sea, a. e. V., que así se dice también eso de a. C.), Arquitas de Tarento ha pasado, entre otras cosas, a la historia de la geometría por su interesante solución aproximada ¡y tridimensional! del problema de la duplicación del cubo.

Desde entonces han sido innumerables los intentos infructuosos efectuados por los más diversos matemáticos del mundo hasta que, ya en el siglo XIX, el fabuloso Carl Friedrich Gauss descubriese que en realidad se trata de un problema sin solución. Y sería el francés Pierre Wantzel quien en 1837 hiciera finalmente público el correspondiente teorema, demostrando que la imposibilidad de duplicar el cubo con regla y compás deriva de otra imposibilidad: la de construir con esos instrumentos de la geometría clásica griega la raíz cúbica de cualquier número racional.

Veamos detenidamente cuál fue su razonamiento, según la versión moderna de Richard Courant. La demostración encierra cierta dificultad, de modo que procuraré ser lo más claro posible e ir muy despacio en la exposición.

En principio, si partimos de un determinado cubo de lado a y volumen V = a^3, para hallar otro cubo de volumen doble bastará con calcular su lado x, que habrá de cumplir que x^3 = 2V = 2a^3, o sea, x = (2a^3)^(1/3) = a*2^(1/3), que es la complicada forma de escribir en este medio fotónico algo tan sencillo como “el producto del lado original a por la raíz cúbica de 2”.

Teorema. La duplicación del cubo con regla y compás es imposible, pues la raíz cúbica de cualquier número racional, por ejemplo

x = 2^(1/3), (*)

no es construible.

Probemos que, si la anterior es solución de (*), es decir, de x^3 – 2 = 0, entonces también es solución

y = p - q

Procediendo por reductio ad absurdum, supongamos lo contrario, es decir, que esa raíz sí es construible.

Sabemos que x no pertenece al cuerpo de los números racionales, ya que 2^(1/3) es irracional. Por lo tanto, x puede pertenecer a alguno de los cuerpos numéricos construibles ampliados con raíces. Escribamos entonces

x = p + q.

Probemos que, si la anterior es solución de (*), es decir, de x^3 – 2 = 0, entonces también es solución

y = p - q.

Dado que x pertenece a un cuerpo numérico construible ampliado con raíces, en ese mismo cuerpo estarán también

x^3 y x^3 – 2

y tendremos

x^3 – 2 = a + b

Pero

x^3 – 2 = (p + q)^3 – 2 = p^3 + 3(p^2)q + 3p(q^2)w + (q^3)w -2 = a + b

por lo cual

a = p^3p(q^2)w -2
b = 3(p^2)q + (q^3)w.

Si hacemos y = p - qvw, y sustituimos q por –q en estas expresiones de a y b, resulta

y^3 – 2 = a - b. (**)

Por otro lado, se supuso que x es raíz de x^3 – 2 = 0, de modo que

 

a + b = 0.

Lo cual implica que tanto a como b se anulan.

En efecto: si b ‡ 0, sería = - a/b, es decir, un número racional, lo cual es además contrario a la suposición que hemos hecho de que es parte de la ampliación irracional del cuerpo de los racionales construibles. Por lo tanto, b = 0 y, por lo tanto, según la ecuación anterior, también a = 0.

Consecuencia inmediata de que a = b = 0 y de (**) es que

y = p - q

es también solución de (*), ya que y^3 – 2 = 0.

Además, y ‡ x, o sea, x - y ‡ 0, pues x – y = 2qw sólo puede anularse si es q = 0, en cuyo caso x = p sería racional, contra lo que hemos supuesto.

Por consiguiente, queda probado que, si x = p + q es solución de la ecuación cúbica (*), también y = p - q será otra solución distinta, lo cual es contradictorio, ya que, al ser reales p, q y w, ese valor de y es real, mientras que la raíz cúbica de 2 tiene solo una solución numérica real y dos imaginarias.

La hipótesis hecha al principio nos ha llevado, así pues, a una conclusión absurda, lo que prueba que tal hipótesis es falsa.

Es, por tanto, imposible (o sea, que ni Dios puede) duplicar el cubo con regla y compás.

QED.

Trisección del ángulo

La imposibilidad de dividir un ángulo en tres angulitos utilizando para ello tan solo la regla y el compás ideales ha de entenderse, como es lógico, en términos generales. Pues es claro que determinados ángulos, tales como los de 90, 180 y 270 grados sí son fácilmente trisecables, incluso sin necesidad de hacer uso del compás.

Por otro lado, al abordar la trisección angular es especialmente necesario tener presente lo que era la regla ideal de los geómetras griegos, es decir, un listón sin graduar y sin marcas de ninguna clase, que no sirve para trasladar distancias sino únicamente para trazar rectas. Esto viene aquí a cuento porque el incomparable Arquímedes de Siracusa hace uso en algunas sus geniales obras de un método de trisección decididamente eficaz y elegante, aunque un tanto tramposillo. (Es broma: Arquímedes no pretendía engañar a nadie haciendo creer que había resuelto el problema de la trisección angular.) He aquí el procedimiento arquimediano:

Sea CAB el ángulo a trisecar. Prolongamos la base BA hacia la izquierda y trazamos una circunferencia con centro en A y radio arbitrario R. En el borde la regla señalamos con dos puntos E y F la distancia EF = R. Manteniendo el punto F de la regla en la circunferencia, deslizamos el instrumento pasando por C y haciendo que E caiga en la prolongación de BA. La recta trazada en esta posición forma un ángulo AEF que es la tercera parte del CAB. En efecto, BAC = ECA +AEF , ECA = CFA = AEF + FAE = 2 AEF. Por tanto, BAC = 2 AEF + AEF = 3 AEF. QEP

Pero pasemos ya de verdad a nuestro asunto. En realidad, para demostrar la imposibilidad de la trisección del ángulo basta con hacer referencia a un ángulo cualquiera que no sea trisecable, por ejemplo: el de 60 grados. Pues, si un método geométrico es general, entonces, o sirve para todos los casos o no sirve para ninguno.

Teorema Un ángulo cualquiera θ no puede ser trisecado con la sola ayuda de la regla y el compás.

Un equivalente algebraico de este enunciado consiste en considerar el ángulo mediante su correspondiente coseno.

Recordando la fórmula de De Moivre,

(cos θ + i sen θ)^n = cos nθ + i sen nθ

(cos θ + i sen θ)^3 = (cos^3) θ -3 cos θ (sen^2) θ +
i[3 (cos^2) θ sen θ– (sen^3) θ] = cos 3θ + i sen 3θ

De ahí

cos 3θ = (cos^3) θ -3 cos θ (sen^2) θ
sen 3θ = 3 (cos^2) θ sen θ– (sen^3) θ

Como cos^2 + sen^2 = 1, tenemos finalmente, para el coseno, que es la función que vamos a utilizar:

cos3θ = (cos^3) θ -3 cosθ [1 - (cos^2)θ] = 4 (cos^3)θ– 3 cosθ,

o bien, su equivalente

cosθ = 4 (cos^3)(?/3) – 3 cos θ/3.

Dicho de otro modo, si llamamos cos θ = a, el problema planteado de trisecar un ángulo cualquiera ? viene a ser equivalente al de construir una solución de la ecuación cúbica

4 x^3 – 3 x – a = 0

Tomemos, por ejemplo, θ = 60 grados, cos ? = 1/2, con lo que lo anterior queda:

4 x^3 – 3 x – 1/2 = 0
8 x^3 – 6 x = 1 (*)

Pero veamos que esta ecuación no tiene solución racional. Haciendo, en efecto, 2x = y,

y^3 – 3y = 1. (**)

Si existiera un número racional m/n, con m y n coprimos, que verificara esta ecuación, tendríamos

(m/n)^3 – 3m/n= 1
m^3 – 3mn^2 = n^3,

de modo que

n^3 = m(m^2 – 3n^2)

sería divisible por m, y m y n tendrían un factor común, a no ser que m = + 1 o - 1. Además, n^2 divide a

m^3 = n^2(n + 3m),

lo que supone que m y n tienen un factor común, a no ser que n = + 1 o - 1.

Como partimos de la hipótesis de que m y n son coprimos, es decir, de que carecen de factor común, resulta que los únicos números racionales que pueden verificar la ecuación (**) son + 1 o bien – 1.

Sustituyendo + 1 y – 1 en lugar de y en (**), resulta, sin embargo, que ni uno ni otro valor satisfacen esa ecuación. Por consiguiente, ni (**) ni (*) tienen raíces racionales.

Con lo que la imposibilidad de trisecar el ángulo ha quedado demostrada.

Cuadratura del círculo

Buena parte de la culpa la tuvieron el geómetra Hipócrates de Quíos (el Padre de la Medicina también se llamaba Hipócrates, pero era de Cos) y sus dichosas lúnulas.

Lo digo porque, aunque los matemáticos griegos ya intuían que el círculo no era cuadrable, la sorprendente hazaña hipocrática cuadrando las tres famosas lúnulas vino a introducir la duda cruel en aquellos inquietos espíritus científicos. De modo que, a partir de los griegos, durante veinticuatro siglos, hasta que Lindemann demostrase en 1882 que la cosa era imposible, miles de matemáticos y personas curiosas de todo el mundo (excepto de España, como es natural, donde los supervivientes de la Sagrada Doctrina estábamos ocupados sorteando garruchas y fogatas inquisitoriales, y contando con los dedos cuántos ángeles o querubines caben exactamente, si Dios y María así lo quieren, en una cabecita de alfiler) han estado empeñados en la tarea. La cual, dicho sea de paso, ha tenido efectos colaterales, por así llamarlos, muy positivos para el desarrollo de la matemática.

Teorema La cuadratura del círculo es imposible.

Supongamos un círculo de radio R = 1. Su área es

A = Pi*R^2 = Pi.

Nos planteamos hallar el lado L de un cuadrado cuya área sea esa misma, es decir

L^2 = Pi ---> L = √Pi.

Se trataría, pues, de dibujar o construir con regla y compás un cuadrado cuyo lado fuera ese. Ahora bien, los números construibles son todos algebraicos, así que la manera de demostrar nuestro teorema es demostrando que Pi y,a fortiori, √Pi no son algebraicos, sino trascendentes. Eso es precisamente lo que, siguiendo los pasos de Hermite en su estudio sobre el número e, hizo el citado Lindemann.

Por desgracia, tal demostración requiere conocimientos de análisis superior, por lo que no parece aconsejable abordarla aquí. Diré únicamente que es muy semejante a la demostración de Hermite, lo que plantea la misteriosa relación existente entre e y Pi, puesta de manifiesto por la bellísima relación que ya conocemos, descubierta por el prodigioso Euler:

Heptágono regular

Hace algún tiempo dediqué un breve escrito a uno de los más formidables logros juveniles de Carl Friedrich Gauss: la demostración de que, con la sola ayuda de la regla y el compás ideales, era posible construir el heptadecágono o polígono regular de 17 lados. Tan satisfecho y orgulloso de esta histórica hazaña quedó el gran matemático alemán que, en el testamento que redactó en su ancianidad, a pesar de la muy superior trascendencia de tantísimas otras de sus aportaciones a la ciencia, no dudó en manifestar de modo explícito el deseo de que en su lápida sepulcral quedase grabado esa figura geométrica como recordatorio de su vida. Pero es fama que, en el momento de tener que cumplir en la práctica aquella voluntad, el marmolista argumentó que esa figura es apenas distinguible de la de una circunferencia (lo cual es muy cierto), y, aprovechando la conocida circunstancia de que los muertos son de suyo bastante conformistas, los deudos decidieron al fin no hacerle a Gauss, como suele decirse, ni puñetero caso.

Por otra parte, fue el mismo prodigioso Gauss quien demostró que un polígono regular de N lados es construible siempre que N sea, o bien un número par > 2, o bien uno de los llamados números primos de Fermat, es decir, de la forma

Hasta el día de hoy, y a la espera de que se descubra algún otro, los primos (en el sentido matemático) de Fermat son solo cinco, a saber: 3, 5, 17, 257 y 65537. De modo que, además de el clásico pero muy trillado recurso de girar los pulgares uno en torno a otro, sin duda una muy eficaz manera de combatir el aburrimiento que suele acecharnos las tardes lluviosas de otoño consistiría en armarse de regla y compás y, dejando por el momento de lado el de 65537, ponerse a construir el polígono de 257 lados. El entretenimiento estaría garantizado durante, calculo yo, unas 257 tardes lluviosas de otoño.

Por lo demás, el descubrimiento gaussiano significa que, entre los polígonos regulares no construibles, están los de 7, 9, 11, 13, 19, 23, 29, y así sucesivamente hasta el infinito, lados. De todos estos casos, los geómetras de la Grecia clásica se centraron en el primero, sin caer en la cuenta de que esa construcción es un empeño inútil:

Teorema El heptágono regular no es construible con regla y compás.

De los varios procedimientos existentes para demostrar esta imposibilidad, quizá el más sencillo sea el basado en la utilización de números complejos, números que, como he subrayado en más de una ocasión, no son nada “complicados” sino más bien sencillitos: números-chupete les llamo yo afectuosamente, por alusión al célebre “mecanismo” que hace que funcionen esos pezones de goma.

Las siete raíces de la ecuación

x^7 – 1 = 0, (*)

son de la forma x = a + bi y se corresponden con los vértices del heptágono inscrito en la circunferencia de radio unidad centrada en el origen de coordenadas. Una de las soluciones de esta ecuación es x = 1 + 0i = 1, y las otras seis serán las raíces de

(x^7 – 1)/(x – 1) =

x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0.

Dividiendo esta ecuación por x^3 y reordenando,

x^3 + 1/x^3 + x^2 + 1/x^2 + x + 1/x + 1 = 0,

lo cual, como es fácil comprobar, puede escribirse:

(x + 1/x)^3 + (x + 1/x)^2 – 2(x + 1/x) – 1 = 0.

Haciendo el cambio x + 1/x = y, tenemos

y^3 + y^2 – 2y – 1 = 0. (**)

Expresándolo en radianes, y recordando que 2p radianes = 360 grados, sabemos que las soluciones de (*) son

x = cos θ + i sen θ ,

con θ = 2kp/7 y k = 0, 1, 2, ..., 6. El inverso de esta última expresión es

1/x = 1/(cos θ + i sen θ )

= (cos θ - i sen θ )/(cos^2 + sen^2) = cos θ – i sen θ ,

de modo que

y = x + 1/x = 2 cos θ

Si es posible construir y, también lo será construir cos ?, y recíprocamente. Así que, si probamos que y no es construible quedará probado que x, es decir, el heptágono (*), tampoco es construible. Según lo dicho respecto a la trisección del ángulo, bastará para ello probar que (**) no tiene raíces racionales. Veámoslo por reducción al absurdo.

Supongamos que (**) tiene una raíz racional y = m/n, con m y n coprimos. Entonces

m^3 + (m^2)*n – 2m*(n^2) –n^3 = 0,

donde se ve que m^3 es divisible por n y que n^3 lo es también por m. En consecuencia, como m y n son primos entre sí, la única solución es que cada uno sea + 1 o bien – 1. Entonces, siendo racional, y solo puede tomar los valores + 1 y – 1. Sin embargo, sustituyendo tales valores en (**) se comprueba que ni uno ni otro satisfacen la ecuación.

Por lo tanto, resulta que hemos partido de un supuesto falso, y el heptágono regular no es construible. QED.

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