La verdad es que la Teoría de Números es una disciplina fascinante. Trata solo, o no más, de los llamados números naturales: 1, 2, 3, … Así, de entrada, la cosa parece pues una infantilada, pero… ¡carajo! O, en expresión de un conocido padre de la Patria: ¡manda güevos! Ya señores muy antiguos, como los alejandrinos Euclides y Diofanto, entre otros, descubrieron propiedades muy interesantes e incluso asombrosas de estos sencillos objetos o entidades. Pero el auténtico fundador de la disciplina fue el diletante don Pierre de Fermat, un inteligentísimo señor francés con el que ya estamos medianamente familiarizados en estos foros.

Como afirmaban Hardy y Littlewood (y quizá corroboraría modestamente el propio Ramanujan), la Teoría de Números es una de las más complejas y difíciles de toda la matemática. Y es que, como subconjuntos propios de este conjunto infinito llamado N, están: los números pares e impares, los múltiplos y los submúltiplos, las infinitas potencias, los números primos… Suele ocurrir que las hipótesis aparentemente más sencillas de la Teoría de Números resulten ser luego endiabladamente difíciles de demostrar. Y, al revés: que hipótesis o conjeturas aparentemente aventuradísimas y extravagantes resulten ser pan comido a la hora de probarlas y convertirlas en anodinos teoremas. Ejemplos de lo primero son el Gran o Último Teorema de Fermat, que hubo de esperar desde mediados del siglo XVII hasta 1994 para ser demostrado por el laborioso Andrew Wiles, y la llamada Conjetura de Goldbach, enunciada en 1742 y con la que (a pesar de los notables progresos conseguidos estos últimos años a su respecto) aún se queman infructuosamente las pestañas infinidad de matemáticos listísimos de todo el mundo. En cambio, y como ejemplo de lo segundo, el bueno de Euclides probó que existen infinitos números primos con una facilidad, una brevedad y una belleza pasmosas. Del mismo o parecido carácter sencillo es la demostración que propongo a continuación, a saber:

<<Pruébese que, para cualquier entero positivo n, es posible encontrar una sucesión de enteros positivos n que no incluya ningún número primo.>>

(Piénsese en lo asombroso del asunto. Dicho en lenguaje coloquial: pese a la cardinalidad álef0 de los números primos demostrada por Euclides, siempre nos será posible hallar un remotísimo número n (por ejemplo, un trillón elevado a un trillón) a partir del cual, y a lo largo de un trillón elevado a un trillón de números naturales sucesivos, no hallaremos ni un solo número primo.)

Como digo, probar esto no es demasiado difícil. Y sirve muy bien pa combatí la caló.

[Nota de ayuda: Hágase uso de factoriales.]

Solucion (20/07/2006)

Como veo que, quizá por la caló, nadie dice esta tecla es mía acerca del problemilla que propuse pa combatí la caló, paso a explicarlo yo mismo. Utilizaré el lenguaje más sencillo que me sea posible. El enunciado era este:

“Pruébese que, para cualquier entero positivo n, es posible encontrar una sucesión de enteros positivos n que no incluya ningún número primo.”

Antes de pasar a la solución, consideremos una pequeña cuestión previa.

Si uno está tranquilamente leyendo un texto matemático, y se encuentra sin previo aviso con cosas como 7! o n!, no es necesario que eleve la voz y exclame ¡SIETE!, ¡ENE! En realidad, ese signo de exclamación (7!, n!) solo quiere decir “factorial”. De modo que la lectura adecuada es “factorial de 7”, “factorial de n”. O, mejor aún, por más breve: “7 factorial”, “n factorial”. ¿Y qué quiere decir, por ejemplo, n!, o sea, “n factorial”? Se trata de una aplicación f de N en N definida por f(0) = 1 y f(n) = n.f(n-1). O, dicho más llanamente, n! = n.(n-1).(n-2)… 3.2.1. Así, 7! = 7.6.5.4.3.2.1 =5040.

Adelantado lo cual, para probar el enunciado anterior podemos pasar ya a considerar el siguiente conjunto, en el que n es un número natural cualquiera.

(n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+1)!+4, … , (n+1)!+(n+1) [*]

Vemos en primer lugar que los elementos de este conjunto son números naturales consecutivos, pues para pasar de uno cualquiera de ellos al siguiente basta con ir sumándoles la unidad. Vemos también claramente que el número total de elementos del conjunto es n. Basta con contarlos: como van desde el elemento con sumando 2 al n+1, les “falta” el primer sumando 1, de manera que n+1-1 = n.

Lo que vamos a considerar ahora ya no es quizá tan evidente. Se trata de que ninguno de estos n elementos consecutivos es un número primo. Todos ellos son compuestos, es decir, todos y cada uno de los elementos son divisibles por algún entero distinto de ellos mismos y de la unidad. Obsérvese, en efecto, que el primer elemento es divisible por 2, el segundo por 3, y así sucesivamente, hasta el último, que es divisible por (n+1).

Por si no acabase de entenderse esto, consideremos un elemento cualquiera, por ejemplo el segundo, (n+1)!+3, que he dicho que es divisible por 3. Para comprender que es así hay que recordar que (n+1)! = (n+1).n…4.3.2.1, producto que evidentemente es divisible por 3, ya que incluye el 3 como factor. Así que el elemento (n+1)!+3 es también divisible por 3, puesto que los dos sumandos que lo componen son divisibles por ese número. Lo mismo puede razonarse de los demás elementos.

Por tanto, la expresión [*] anterior nos prueba que, para cualquier entero positivo n, es siempre posible encontrar una sucesión de números naturales n que no incluya ningún número primo. QED.

Hay que observar que la función factorial n! crece rapidísimamente. Hemos visto antes que 7! = 5040. Pero es que 10! = 3.628.800, y 20! = 2.432.902.008.176.640.000.

Eso significa que, para hallar, con ayuda de [*], solo 20 enteros consecutivos no primos tendríamos que remontarnos al número 21!, que es 20! multiplicado por 21. Y para hallar cinco millones de números consecutivos no primos, es decir, compuestos, habría que hacer un viaje algo más largo por la sucesión numérica, hasta llegar a 5.000.001!, la cual es ya una magnitud francamente inconcebible. Podríamos así encontrarnos con subconjuntos cada vez más y más enormes de enteros consecutivos compuestos, sin incluir ni un solo número primo. ¡Se diría que, poco a poco, los primos van desapareciendo! Sería una falsa impresión. Pues, según demostró Euclides, los primos, al igual que el propio N, es álef0, y álef0 nunca se acaba.