Autor: Lemuel
Divisibilidad, I
Lo cierto es que, para responder con absoluta seguridad a esa pregunta, actualmente es muy sencillo “hacer trampa” utilizando la pequeña pero infalible calculadora electrónica que todos nosotros llevamos en el bolsillo de la camisa, y ellas en el bolso, junto con los polvos para matear el brillo de nariz. Así pues, ¡quedan temporalmente confiscadas las calculadoras electrónicas, bien sean de bolso o de bolsillo de camisa! Y se reitera la pregunta hecha a doña Eduvigis: ¿es o no es el número 6548012234 divisible entre 11?
Si uno o una ha estudiado de niño/niña un poco de aritmética, y si además goza de buena memoria, recordará la elemental reglita que establece que: un número cualquiera es divisible por 11 si, y solo si, la suma alternada con los signos ± de sus cifras es divisible por 11.
En nuestro caso, 6 - 5 + 4 – 8 + 0 – 1 + 2 – 2 +3 – 4 = -5, que evidentemente no es divisible por 11, ergo… (La divisibilidad se produciría si, por ejemplo, esta suma fuese nula, para lo cual bastaría con que el cuarto sumando, en vez de -8, fuese 5 unidades superior, o sea, -3. Tendríamos entonces el número 6543012234, que sí es divisible por 11: el cociente es 594819294.)
Ahora bien, como es natural, todo esto está bastante relacionado con la mnemotecnia, y muy poco o apenas nada con la matemática propiamente dicha: el borgesiano Funes “el memorioso” habría sido capaz de responder de inmediato y sin ninguna duda a la pregunta anterior, pese a no tener pajolera idea de matemática. Y es que la matemática exige que se demuestren las cosas.
Es decir que, a diferencia de ciertos infames autos de prisión en masa decididos por el Gobierno y dictados contra los demócratas vascos por la jueza Ángeles Murillo y el juez campeador y futuro premio Nobel de la Paz (de los sepulcros) Baltasar Garzón, las normas o reglas matemáticas están siempre basadas en demostraciones fehacientes e incontestables.
Divisibilidad, II
Como proemio del correspondiente teorema, y a fin de probar de manera incontestable, clara y fidedigna, es decir, de una manera completa y rigurosamente antigarzoniana, la regla de divisibilidad de un número cualquiera entre 11 (y, en consecuencia, mutatis mutandis, las correspondientes reglas de divisibilidad para 3, 7, 13, …), es preciso que refresquemos nuestros conocimientos juveniles (¡oh, là, là, qué alegres tiempos aquellos, del acné!) acerca de la aritmética modular o gaussiana.
Como nos decían en el cole, en una división cualquiera, si llamamos respectivamente D, d, c y r a dividendo, divisor, cociente y resto, se cumple que
D/d = c + r/d
O sea, multiplicando ambos miembros por d,
D = c*d + r.
Ejemplo: 25/7 = 3 + 4/7, o sea, 25 = 3*7 + 4.
Definición:
Diremos que dos enteros cualesquiera a y b son congruentes módulo p si dan el mismo resto r al ser divididos por p.
Ejemplo: 3 y 15 son congruentes módulo 12, ya que 3/12 = 0 + 3/12
y 15/12 = 1 + 3/12.
Esta es, por cierto, la aritmética modular de los relojes: ‘las 17 horas’ son ‘las 5’, ‘las 21’ son ‘las 9’, etc.
Pero, módulo 12, también 29 equivale a 17 y a 5, 33 equivale a 21 y a 9, etc.
Decir que un par cualquiera de estos números son congruentes módulo 12, o sea, decir que dan el mismo resto al dividirlos por 12, es lo mismo que decir que las diferencias entre ellos son múltiplos de 12. En efecto, 17 – 5 = 12, 21 – 9 = 12, 33 – 9 = 24 = 2*12, 29 - 5 = 24 = 2*12, etc.
Notación
A falta de poder utilizar aquí por razones técnicas el signo de congruencia, que es muy parecido a ‘=’, pero con tres rayitas en vez de dos, haremos uso del = y escribiremos:
a = b mód p.
Ejemplo: 3 = 15 = 27 = 39 = … mód 12.
Digamos, para acabar este breve introito, que dados
a = a’ mód p y b = b’ mód p, entonces
a ±
b = a’ ± b’ mód p
a*b = a’*b’ mód p
a^n = a’^n mód p
Ejemplos al canto:
Si tenemos 2 = 8 mód 6 y 11 = 17 mód 6, entonces
13 = 25 mód
6, ya que 25 – 13 = 12 = 2*6
- 9 = - 9 mód 6, ya que - 9 –(- 9) = 0 = 0*6
2*11 = 8*17 mód 6, ya que 136 – 22 = 114 = 19*6
2^5 = 8^5 mód 6, pues 32768 – 32 = 32736 = 5456*6
Con lo cual estamos ya en condiciones de enunciar y probar de modo gaussiano,
es decir, de modo rigurosamente antigarzoniano, cualquier teorema sobre
reglas de divisibilidad de un número cualquiera entre cualquier número
primo, por ejemplo el 11.
Lo veremos en un próximo capítulo. Si el Niño Dios no dispone otra cosa, desde luego.
Divisibilidad, y III
Cualquier número en base 10, por ejemplo 1871, año de la heroica Comuna de París, se puede leer como: un mil, ocho cientos, siete dieces y una unidad. Puesto en cifras:
1*10^3 + 8*10^2 + 7*10 + 1
Dicho lo cual, pasemos ya sin más garambainas, preámbulos ni enojosos rodeos al
Teorema
Un número cualquiera N es divisible por 11 si, y solo si, la suma alternada ± de sus cifras es divisible por 11.
Aplicando aquello que dijimos en el post anterior de que, si a = a’
mód p, entonces también a^n = a’^n mód p, averigüemos
cuáles son los restos de las sucesivas potencias de 10 con respecto
al número 11.
10 = -1 mód 11, ya que 10 = -1 + 11
Y, siguiendo con mód 11, será también
10^2 = (-1)^2 = 1
10^3 = (-1)^3 = -1
10^4 = (-1)^4 = 1
y así sucesivamente.
Si tenemos un entero cualquiera
N = a0 + a1*10 + a2*10^2 + a3*10^3 + … + an*10^n
(donde los 0, 1, 2, …, n adjuntos a las ‘a’ son simples subíndices), es elemental probar que, al dividir ese N por 11, se produce el mismo resto que el que resultaría al dividir por 11 las cifras de N tomadas alternativamente con los signos + y –, o sea
S = a0 – a1 + a2 – a3 + …
En efecto, si escribimos
N–S =a1*11 + a2*(10^2 – 1) + a3*(10^3 + 1) + a4*(10^4 –
1) + … =
= a1*11 + a2*99 + a3*1001 + a4*9999 + …,
podemos observar que esos factores de las ‘a’ son todos ellos congruentes con 0 módulo 11, es decir, son todos múltiplos de 11. En otras palabras, N – S es congruente con 0 módulo 11. Usease, que
N – S = 0 mód 11
Lo cual significa ni más ni menos que N = S mód 11, es decir, que N y S dan el mismo resto al dividirlos por 11.
Por lo tanto, un número cualquiera N es divisible por 11 (esto es, da resto 0 al ser dividido por 11) si, y solo si, la suma alternada ± de sus cifras es divisible por 11. QED.
Así, puesto que 1 - 0 + 6 - 3 + 8 - 4 + 4 - 1 = 11 es divisible por 11, el correspondiente número 10638441 también lo es.
Sugiero a mis (más que hipotéticos, hipotetiquísimos, lo reconozco) lectores que la noche de fin de año, en vez de ponerse a contar campanadas y engullir uvas en familia como clones de obedientes borregos, intenten deducir, mutatis mutandis, las reglas de la divisibilidad de un número cualquiera por 3, por 7 o por 13. Con las actuales calculadoras de bolsillo esas reglas no sirven para nada, es verdad, ¡pero su hallazgo resulta intelectualmente apasionante!