Autor: Lemuel
Con ciertos
conceptos matemáticos, como el de las congruencias
gaussianas, nos ocurre lo mismito que a aquel célebre personaje molieresco,
que hablaba en prosa sin saberlo. Quiero decir que todos nosotros hacemos
frecuente uso de esos conceptos, aunque de manera inconsciente. ¡Menuda
paradoja, conceptos inconscientes!
Imaginemos, por ejemplo, que la buena de doña Adelina, nuestra malvada pero querida suegra, ha salido en un tren de Cáceres a las 10 de la mañana y va a tardar 5 horas en llegar a nuestra ciudad. De modo que, sin pensárnoslo dos veces, compramos un precioso ramo de flores en la floristería más próxima y nos plantamos ilusionados en la estación de llegada a las 3 de la tarde. ¡Al proceder así hemos sumado 10 + 5 y nos ha salido 3! Qué cosa tan absurda, ¿no? La explicación está en que, como le ocurría a M. Jourdain con la prosa, hemos recurrido inconscientemente a nuestros secretos conocimientos de aritmética modular y hemos hecho ¡una suma gaussiana! Pues, efectivamente, 15 = 3 (mód 12).
Veamos esto más de cerca.
Hace exactamente 205 años, uno de los tres o cuatro mayores matemáticos que ha dado la especie humana, llamado Carl Friedrich Gauss, abría sus Disquisitiones Arthmeticae con la siguiente definición:
“Si un número a divide a la diferencia de los números b y c, entonces se dice que b y c son congruentes con respecto a a. El número a se llama módulo.”
Lo cual, aplicado al caso de nuestra querida suegra doña Adelina, se leería así: si el número 12 divide a la diferencia de los números 15 y 3, entonces se dice que 15 y 3 son congruentes con respecto a 12. O sea, 15 = 3 (mód 12). Dicho en otras palabras: dado que nuestros relojes están circularmente marcados con solo 12 rayitas, el número 15 corresponde a la 3ª rayita a la que se llega contando a partir de la rayita 12ª.
¿Y cuándo volveríamos a parar a esa misma 3ª rayita del reloj? Pues siempre que volviéramos a recorrer otras 12 rayitas, o también otras 24, 36, 48… rayitas. De ahí que, en lenguaje modular, y en relación con el módulo 12, resulte que 3 = 12 + 3 = 24 + 3 = 36 + 3 = 12n + 3, siendo n un número natural cualquiera.
Por
ejemplo, 3 = 147 (mód 12). ¿Por qué? Pues porque 147
= 12*12 + 3. O, visto desde otro ángulo, porque 147-3 = 12*12 = 144
y, según la definición de Gauss, 12 divide a 144. Y, como 144
es la diferencia entre 147 y 3, se dice que 147 y 3 son congruentes módulo
12, y se escribe 147 = 3 (mód 12).