Peculiaridades sin cuento
Autor: Lemuel
Un fascinante clásico de la literatura matemática recoge un hecho relativo al conjunto infinito de los números naturales, o, mejor dicho, recoge una relación, o sea, un infinito conjunto de hechos uno a uno referentes al infinito conjunto de los números naturales, que cualquier lógico consideraría a priori de imposible ocurrencia. Si recordamos que los números naturales son los enteros positivos, o sea, los que todos nosotros utilizamos todos los días: 1, 2, 3, 4, …, entonces la citada relación puede enunciarse con las sencillas palabras siguientes.
Todos y cada uno de los infinitos números naturales son números peculiares.
Baste añadir como aclaración que un número peculiar es aquel que tiene alguna característica propia, alguna deferencia o singularidad distintiva, por pequeña que sea.
Si no fuera tarea sobrehumana por lo prolongada que resultaría ser en el tiempo, podríamos ir examinando estos números caso por caso a partir del primero. La peculiaridad del 1 no es preciso siquiera que la resaltemos. El 2 es el único primo par. El 3, el primero de los infinitos primos restantes, impares. El 4 es la primera potencia de 2. Etc.
Esto me trae a la memoria al fabuloso matemático hindú Srinivasa
Ramanujan, muerto a los 33 años en Inglaterra, a donde había
ido arrastrado por la admiración que su portentoso talento había
despertado en el que quizá fue el mayor especialista europeo de su
época en teoría de números, G. H. Hardy, de Cambridge:
en una calificación centesimal, este se otorgaba a sí mismo,
como matemático, la categoría 25, puntuaba a David Hilbert con
80, y a Ramanujan con 100.
En 1920, estando Ramanujan en el hospital londinense del que ya no saldría vivo, Hardy fue a visitarlo. Nada más entrar en la habitación del enfermo, al inglés no se le ocurrió otra cosa que comentar lo anodino y aburrido que era el número del taxi que acababa de dejar en la puerta: el 1729. Al oír lo cual, el hindú exclamó: “¡No, Godfrey, ese es un número muy interesante y peculiar!” Y es que el número es divisible por la suma de sus dígitos, 19, o sea: 1729 = 19*91. Además, es el primer número entero que se puede escribir como suma de dos cubos de diferentes maneras: 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3. (¡Algo en los aledaños del teorema de Fermat!)
Pero vamos a lo que íbamos: que es posible demostrar matemáticamente y por reducción al absurdo lo dicho más arriba, es decir, que todos y cada uno de los infinitos números naturales son peculiares.
Póngase atención al razonamiento, que no es del todo trivial. (Y encima escribo esto muy deprisa a estas horas de la tarde.)
Supongamos que lo afirmado por el enunciado no es verdad, o sea, que existe una cantidad indeterminada de números sin ningún interés, a los que llamaremos no peculiares, NP. En cuyo caso procederemos a introducir esos números NP en una bolsa, que no estará vacía. Tenemos entonces una bolsa que incluye números NP. Ahora bien, esos números NP son naturales, es decir enteros positivos, e incluirán, por tanto, un primer elemento menor que todos los demás.
Pero entonces, ese primer elemento NP se convierte ipso facto (= por el hecho mismo) en su contrario, es decir, en un número peculiar. ¿Y eso por qué? Pues precisamente porque sería el primero de todos los números NP. El error consistió, así pues, en pensar que había números NP.
Dicho de otro modo. La bolsa que nos traemos entre manos, la de los números NP, no puede incluir elementos sino que tiene que estar vacía. Porque, si contuviese elementos, alguno de ellos sería el primero, y ocurriría el absurdo de estar en la bolsa de NP un número que sí es peculiar.