Un pecado mortal matemático

Autor:Lemuel

 

 

De Sócrates e Hipatia a Miguel Servet y Giordano Bruno, pasando por los más variopintos personajes anónimos, infinidad de disidentes con el poder político constituido, de discrepantes con la cosmovisión filosófica oficial y, sobre todo, de heterodoxos con relación a las eternas verdades espirituales reveladas por la Santa Madre Iglesia, han pagado a lo largo de los siglos su rebeldía y sus peligrosos errores con la pena de muerte.

Mucho más insólito resulta que, en un terreno tan ideológicamente inocuo como la matemática, se condenase así mismo a la pena capital al responsable de algo tan decisivo para el ulterior desarrollo de esta ciencia como el descubrimiento de la irracionalidad numérica.

El hecho ocurrió en el siglo V antes de nuestra era. La matemática griega estaba entonces dominada por el pitagorismo, algo así como una religión profana cuyo dios único y omnipotente era el conjunto de los Números Naturales, es decir, los enteros positivos. Con estos sencillos elementos, los pitagóricos hacían prodigios en el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes. Una de las verdades intangibles del pitagorismo era la conmensurabilidad. Según ese dogma, dados dos segmentos AB y CD cualesquiera, siempre resultaba factible hallar otro segmento más corto EF, tomado como unidad, que dividiese exactamente a los primeros. Entonces, AB = m*EF, CD = n*EF, AB/CD = m/n. Esta proporción numérica m/n era para los pitagóricos, no un número racional, como se diría más tarde, sino una simple pareja de números naturales, por ejemplo: 5/3, lo que indicaba que el segmento AB era dos unidades EF mayor que CD.

De pronto, un advenedizo venido del Metaponto o Crotona irrumpió estrepitosamente en ese armonioso mundo numérico poniéndolo todo patas arriba. Se llamaba Hipasio. Al insolente se le ocurrió sospechar que, en realidad, el lado y la diagonal de un cuadrado no eran conmensurables. Pues si el lado era L y la diagonal D, aplicando no más el sacrosanto Teorema de Pitágoras (y utilizando el símbolo ^ como operador “elevado a”) resultaba que D^2 = L^2 + L^2 = 2*L^2, de donde D^2/L^2 = 2, es decir, D/L = 2^(1/2). O, dicho en prosa: la proporción entre D y L era igual a la raíz cuadrada de 2. ¡Y la raíz cuadrada de 2 no había manera de ponerla de esa manera pitagórica tan elegante, es decir, como m/n! O, como hoy diríamos, esa raíz no es un número racional, sino irracional. La demostración de este perturbador descubrimiento de Hipasio, la proporcionaría casi dos siglos después el fabuloso Eudoxo, y en las ediciones antiguas de los Elementos de Euclides solía incluirse en el Libro X. Es genial en su sencillez, y procede mediante el llamado método de reducción al absurdo.

Supongamos, en efecto, que la raíz cuadrada de 2 sí se pudiese escribir como m/n, siendo m y n términos mínimos cualesquiera, es decir, primos entre sí. (Esto significa que, p. ej., 12/11 sería válido, pero en cambio 10/15 = 2/3, etc.) Entonces:

2^(1/2) = m/n, 2*n^2 = m^2, es decir, m^2 número par, y por tanto, m también par. En consecuencia, n ha de ser impar, dado que m y n son primos entre sí. Pero si m es par, será m = 2*p. Sustituyendo esto en la expresión anterior,

2*n^2 = (2*p)^2 = 4*p^2, o sea, n^2 = 2*p^2, lo que significa que n ^2 es par y, en consecuencia, n también es par, lo que está en contradicción con el resultado anterior. Por tanto, la hipótesis de partida es falsa, y la raíz de dos no se puede expresar en la forma m/n.

La desolación entre los pitagóricos fue tremenda. Llamaban alogos, es decir, “inexpresable”, o también arretos, “lo que no tiene razón”, a la sacrílega inconmesurabilidad recién descubierta por el tal Hipaso. Por su culpa, todas las bellas demostraciones numéricas de los pitagóricos quedaban invalidadas. A partir de entonces, la matemática griega estaría ya durante todo un milenio dominada por la geometría, dado que los números eran entidades sospechosas y habían dejado de ser fidedignos.

Por lo pronto, y como primera providencia, echaron mano de Hipaso, lo embarcaron hasta alta mar, y allá lo arrojaron a las bravías y entiburonadas aguas del Mediterráneo.

Según la leyenda, del nefasto Hipaso de Metaponto, o de Crotona, nunca más se supo.