La función f(x) tiende hacia el límite L en p cuando, para todo e>0, existe algún d>0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<d, es |f(x)-L|<e.

Leamos, traducida al lenguaje corriente, esa definición del límite.

La función efe de equis tiende hacia el límite ele en pe cuando, para todo épsilon positivo, existe algún delta positivo tal que, para todo equis que cumple que el valor absoluto de equis menos pe está comprendido entre cero y delta, el valor absoluto de efe de equis menos ele es menor que épsilon.

Pese a que, desde un punto de vista estrictamente gramatical, no es como para tirar cohetes, esta "definición épsilon-delta" de límite (atisbada por el francés Agustin Louis Cauchy y cincelada finalmente por el alemán Karl Weierstrass) requiere ser meditada muy detenidamente. No en balde ni siquiera Newton o Leibniz, máximos artífices del cálculo, fueron capaces de barruntársela. Y no en balde, para llegar a ella, se ha requerido el esfuerzo combinado durante muchísimos años de las cabezas matemáticamente “mejor amuebladas” (así se dice) de todo el orbe.

De momento lo dejo aquí, para que el formidable artefacto intelectual pueda ser digerido poco a poco.

Límites, I

La función f(x) tiende hacia el límite L en p cuando, para todo e>0, existe algún d>0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<d, es |f(x)-L|<e.

(Es decir, que lím f(x) = L cuando x->p si y solo si se cumplen las condiciones indicadas.)

Esta definición (e, d) es el laborioso resultado de más de cien años de intentos teóricos. Tal definición significa la completa rigorización de un concepto, el de límite, que es indispensable para definir a su vez los dos conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal: los de derivada e integral.

Echemos un rápido vistazo a la prehistoria del concepto.

Aunque el papel que desempeñaron Newton y Leibniz fue decisivo en el terreno del cálculo, resulta un tanto simplista atribuirles a ellos la creación o “invención” de esta rama de la matemática. De hecho, los dos grandes conjuntos problemáticos en esta materia, que son: el de las tangentes, base del cálculo diferencial, y el de las áreas o cuadraturas, base del cálculo integral, tienen una historia multisecular. Aparte de los ya citados trabajos sobre cuadraturas (exhausción) de Eudoxo y del inconmensurable Arquímedes, ya Apolonio de Perga había llegado a resolver geométricamente hace veintitrés siglos el problema de las tangentes para el caso de las cónicas. Y, obviando otros muchos nombres, en el siglo XVII los más diversos matemáticos europeos, al esforzarse por continuar la obra matemática de Galileo y Kepler, se vieron llevados a centrar su atención sobre esos dos mismos asuntos, el de la determinación de las tangentes a una curva y el de las cuadraturas. La aportación fundamental de Newton y Leibniz fue sobre todo el descubrimiento de la íntima conexión existente entre “tangentes” y “cuadraturas”, o sea, entre derivadas e integrales.

El caso es que Newton y Leibniz, no solo no fueron capaces de recurrir en su obra al concepto clave de límite (concepto que, sin embargo, estaba latente e implícito en sus razonamientos), sino que hicieron uso de unos enfoques y un lenguaje que dejaban muchísimo que desear desde el punto de vista de científico. Newton, por ejemplo, en vez de ‘derivadas’, hablaba de cosas tales como “fluxiones”, y escribía: “Las fluxiones son, con toda la aproximación que se desee, como los incrementos de las fluentes [es decir, las variables] generadas en tiempos iguales y tan pequeños como sea posible. Hablando con precisión, las fluxiones están en el origen de los incrementos nacientes, etc.” Es decir que el gran matemático inglés se veía forzado a recurrir a lo que hoy se llamaría una vacua palabrería neoliberal: “son como”, “en tiempos iguales” (?), “el origen de”, “incrementos nacientes”… Luego empeoraba aún más la cosa cuando se sacaba de la manga no se sabe qué “cantidades últimas” y “cantidades evanescentes”, las cuales cantidades “podían disminuir sin cesar”, etc. Desde luego, cualquier parecido entre todo eso y el lenguaje propio de la matemática habría resultado ser fruto de la pura coincidencia. En cuanto a Leibniz, hablaba así mismo por su parte de valores “evanescentemente pequeños” o “infinitamente pequeños” o “infinitamente próximos”, etc. La ventaja, sin embargo, de los textos de Leibniz en comparación con los de Newton radica en que el alemán fue capaz de idear una notación y unos símbolos que han superado la prueba del tiempo y perduran hasta el día de hoy: dx para la diferencial, dy/dx para la derivada, ? para la integral, etc.

El caso es que tanto Newton como Leibniz le pusieron la tarea muy fácil a un lego en matemática como el inteligente pero maligno obispo George Berkeley. Cargado de razón, e inflamado con la conocida caridad cristiana propia de los señores obispos, monseñor Berkeley arremetió, así pues, con enorme saña contra Newton y Leibniz, ridiculizando minuciosamente sus “evanescencias” y demás fantasmagorías matemáticas.

Límites, II

El cura George Berkeley, solipsista como él solo sí que era, pero de tonto no tenía un pelo. Fue él, un completo profano en la materia, quien desencadenó la primera discusión seria acerca del cálculo infinitesimal. La inquietud que movía a Berkeley era el temor a la creciente amenaza que para la dogmática religiosa representaba la filosofía mecanicista y determinista inspirada en la nueva matemática. Sus críticas acerca de los pretendidamente “sólidos” fundamentos de las teorías de Newton y Leibniz aparecieron en 1734 en “The Analyst”, un escrito dirigido al “infiel” Edmund Halley, el del célebre cometa. El malicioso título completo en castellano de este demoledor panfleto es: “El Analista, o Discurso dirigido a un Matemático Infiel, donde se Examina si los Objetos, Principios e Inferencias del Análisis Moderno están formulados de Manera más Clara, o deducidas de manera Más Evidente que los Misterios Religiosos y los Asuntos de Fe. Saca primero la viga de tu ojo y verás luego claramente a la hora de quitar la mota del ojo de tu hermano.” A ese opúsculo pertenecen los siguientes pasajes:

“Así como nuestros sentidos se ven forzados y desconcertados en la percepción de objetos extremadamente pequeños, también así la imaginación (…) se ve muy forzada y confundida para formar ideas claras de las mínimas partículas de tiempo o los incrementos mínimos engendrados durante ellas, y mucho más aún para comprender los momentos o aquellos incrementos de las cantidades fluyentes in statu nascenti. (…) ¿Y qué son estas fluxiones? ¿Las velocidades de incrementos evanescentes? ¿Y qué son estos mismos incrementos evanescentes? No son ni cantidades finitas ni cantidades infinitamente pequeñas ni son tampoco una simple nada. ¿No podríamos llamarlos Fantasmas de Cantidades Desaparecidas?... El que pueda digerir una segunda o tercera fluxión no necesita, en mi opinión, andarse con remilgos en cuanto a la Divinidad.”

Tenía razón el hombre: fluxiones, evanescencias y otros ectoplasmas matemáticos apenas tenían nada que envidiar en punto a misticismo inescrutable con los propios asuntos de religión. El inmenso territorio del cálculo, fuente del análisis, estaba plagado de definiciones incomprensibles, demostraciones apresuradas, e incluso flagrantes contradicciones conceptuales. Se hacía cada vez más urgente e imprescindible abordar el problema del rigor en el cálculo. Y en ello volcaron sus esfuerzos en el siglo XIX matemáticos de la talla del (otro) cura checo Bernhard Bolzano, el noruego Niels Henrick Abel y Augustin-Louis Cauchy. Por desgracia, los escritos del checo apenas los conocían dos o tres amiguetes suyos en Praga, y el formidable Abel murió con apenas veintisiete años de edad. De modo que fue Cauchy quien realmente personificó los inicios del rigor en la ciencia matemática.

“Cauchy es en estos momentos –como escribía Abel en 1826 a un conocido suyo— el único que sabe cómo hay que tratar las matemáticas.” Lo cual, a Abel no le impedía sin embargo opinar que el tal Cauchy era “un necio y un fanático”, dada su extremada carcundia ideológica y su catolicismo militante…

Límites, III

De modo y manera que, con muy acertado criterio, Cauchy (1789-1848) decidió fundamentar el cálculo sobre el concepto de límite. Lo cierto es que tal enfoque había sido recomendado ya mucho antes, en el siglo XVII, por autores como John Wallis y James Gregory. Y, ya en el XVIII, nada menos que Jean Le Rond d’Alembert había incluído en la célebre y disolvente Encyclopédie un enjundioso artículo titulado precisamente ‘Límite’, en el que, entre otras cosas, puede leerse:

“Se dice que una cantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera con una diferencia menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que esta se pueda suponer, aunque la cantidad que se aproxima no pueda sobrepasar nunca la cantidad aproximada. (…) La teoría de límites –agregaba d’Alembert—es la base de la verdadera metafísica del cálculo diferencial.”

En otro apartado de la misma pecaminosa Encyclopédie, titulado ‘Diferencial’, el mismo d’Alembert decía que un diferencial (infinitesimal) es una cantidad “infinitamente pequeña”, pero señalaba que esta terminología era “muy abreviada y oscura”. Criticaba así mismo el autor francés la utilización por parte de Isaac Newton de la velocidad para explicar la derivada, ya que con ello introducía en su razonamiento una idea no matemática: la de movimiento. Por desgracia, los contemporáneos de d’Alembert no hicieron el menor caso de sus juiciosas observaciones.

Tras todos estos prolegómenos, en 1821 apareció finalmente el famoso texto de Cauchy titulado Cours d’analyse algébrique, que enseguida se convirtió en la Holy Bible del análisis de variable compleja. Se trataba de un libro en el que el autor se proponía en cierto modo refundar la metodología matemática sobre bases conceptuales estrictamente rigurosas. En esta obra, el autor francés establecía cuidadosamente las nociones básicas del cálculo: función, límite, continuidad, derivada e integral. También distinguía allí entre las series infinitas sumables y las no sumables, es decir, entre series convergentes y divergentes. Estas últimas eran expulsadas a las tinieblas exteriores. La repercusión que tuvo este concreto distingo queda reflejada en una conocida anécdota: Laplace, anciano jubilata ya de 72 años, alertado por el texto de Cauchy, se apresuró a recluirse en su casa durante casi una semana a fin de examinar con lupa las series incluidas en su grandiosa Mecánica celeste. Según pudo comprobar con enorme alivio y satisfacción el bueno de Pierre-Simon, ¡todas esas series eran, gracias a Dios, ortodoxamente cauchianas, es decir, completamente convergentes!

Pero veamos ya cómo definía Cauchy el límite de una función. Textualmente escribía:

“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”

Lo cual, en lenguaje un poco más formalizado, puede traducirse por:

”La función f tiende hacia el límite L cerca de a si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a.

Como vemos, pues, la cosa dejaba todavía bastante que desear. Lo de “suficientemente cerca de” y, sobre todo, eso de “una cantidad tan pequeña como se desee” (o “tan cerca como queramos”) sonaba a caprichitos de preñado o preñada más que a pura objetividad matemática.

Tendrían que pasar aún unos treinta años para que el alemán Karl Weierstrass viniese a poner definitivamente los puntos sobre las íes del delicado concepto de límite.

 

épsilon/delta

Si el entrevistador hace al entrevistado una pregunta como la tuya ("¿qué son épsilon y delta?"), el entrevistado está obligado a exclamar: ¡Hombre, me alegro de que me haga usted esta pregunta!

¿Qué son, qué valores tienen e y d?

Respuesta. Son: números. Valen: cualesquiera valores numéricos positivos.

Sin embargo, esto segundo hay que matizarlo, puesto que, según se desprende de la definición de límite, d depende o es función de e. Reproduzco de nuevo esa definición:

La función f(x) tiende hacia el límite L en p cuando, para todo e>0, existe algún d>0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<d, es |f(x)-L|<e.

Dice ahí: “Para todo e>0, existe algún d>0…”

Eso significa que uno debe empezar eligiendo un épsilon positivo cualquiera y luego hay que ver qué delta positivo cumple con las condiciones de la definición.

Ejemplo.

Demostremos que, cuando x-->2, lím (2x-1) = 3.

Intuitivamente la cosa parece muy clara pues, haciendo x = 2, resulta 2*2-1 = 3. Sin embargo: 1)esto, que en la práctica se hace constantemente, es una pequeña barbaridad matemática, y 2) se cumple cuando se trata de funciones sencillas como 2x-1, pero no suele funcionar cuando las funciones son más complicadas, en cuyo caso hay que seguir literalmente la definición de límite.

Atengámonos también aquí a esa definición para intentar demostrar el enunciado propuesto.

Sea un e>0 cualquiera y hallemos el correspondiente d>0. Según la definición, tal valor ha de verificar que, si

0<|x-2|<d, entonces |(2x-1)-3|<e.

Intentemos relacionar |(2x-1)-3| con |x-2|. En este caso no hay ninguna dificultad:

|(2x-1)-3| = |2x-4| = 2|x-2| (*)

Por tanto, para que |(2x-1)-3| sea menor que e, solo se requiere que |x-2| sea dos veces menor, es decir, que d = e/2.

Comprobémoslo: si 0<|x-2|<e/2, entonces 2|x-2|<e. Por tanto, según (*), sería también |(2x-1)-3|<e.

 

Aportación de NuezMoscada (25/10/2006)

Como dice Lemuel, para llegar a este tipo de definiciones (llamadas precisamente epsilon-delta) se han necesitado siglos de formalización en el lenguaje matemático. Lo importante de esta definición es captar la idea y luego intentar formalizar, proceder al revés iría contra el proceso natural de la mente. Antes de formalizar esta definición no es que no supiéramos lo que era el límite en un punto, es que simplemente no sabíamos plasmar un idea abstracta en un lenguaje particular, el matemático en este caso.
Epsilon y delta son varibles que representan la longitud de los intervalos, la distancia que hay desde la x al extremo del intérvalo es epsilon (la E redondeada) y la distancia de la y al extremo del intérvalo es delta (la d redondeada).
Básicamente, lo que dice la definición es que si tomo un intérvalo cualquiera alrededor del límite L, seré capaz de encontrar un intervalo alrededor de la x donde todas las imagenes de la función van a estar dentro del intervalo que escogí inicialmete. Y esto sucede para cualquier intérvalo que escoja alrededor del límite.
Espero haber aclarado algo. Un saludo